微积分学示例

$y = \frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (| 3 x |)$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | 3 x |$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| 3 x |$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 4.3

使用 $| 3 x |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{| 3 x |}$ 和 $x^{2}$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 6.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 6.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{3 x}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 7

将 $\frac{3 x}{| 3 x |}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{| 3 x |}$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x \cdot x^{2}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.1

移动 $x^{2}$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x)}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 8.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x^{1})}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{2 + 1}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 8.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 9

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x (3 x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x \cdot x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x^{1}) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 15

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 16

合并分数。

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解题步骤 16.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - 3 \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 16.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |}$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 3 (3 x^{3})}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 16.3

化简表达式。

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解题步骤 16.3.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 16.3.2

将负号移到分数的前面。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \cdot 1}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 18

合并分数。

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解题步骤 18.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 18.2

组合 $5$ 和 $\frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$ 。

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

运用分配律。

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x)) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2

化简分子。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 (2 \ln (| 3 x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.2

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{5 (2 \ln (3 | x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (3 | x |)$ 。

$\frac{5 (\ln ({(3 | x |)}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.4

对 $3 | x |$ 运用乘积法则。

$\frac{5 (\ln (3^{2} {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5 (\ln (9 {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.6

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\frac{5 (\ln (9 x^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.7

乘以 $5 (\ln (9 x^{2}) x)$ 。

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解题步骤 19.2.1.7.1

将 $\ln (9 x^{2})$ 和 $5$ 重新排序。

$\frac{5 \cdot \ln (9 x^{2}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.7.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \cdot \ln (9 x^{2})$ 。

$\frac{\ln ({(9 x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.8

对 $9 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\ln (9^{5} {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.9

对 $9$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{\ln (59049 {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.10

将 ${(x^{2})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 19.2.1.10.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\ln (59049 x^{2 \cdot 5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.10.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.11

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.12

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.12.1

约去公因数。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.12.2

重写表达式。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{3}}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.13

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.13.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.13.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.13.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.13.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.13.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x}{1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.13.2.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- x)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.1.14

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.2.2

将 $\ln (59049 x^{10}) x - 5 x$ 中的因式重新排序。

$\frac{x \ln (59049 x^{10}) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.3

从 $x \ln (59049 x^{10}) - 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 19.3.1

从 $x \ln (59049 x^{10})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.3.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.3.3

从 $x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

解题步骤 19.4

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (3 | x |)}$

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