微积分学示例

$y = {(1 + x^{2})}^{\sin (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + x^{2})}^{\sin (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\sin (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x) \ln (1 + x^{2})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x) \ln (1 + x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (x) \ln (1 + x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $\sin (x)$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.6

合并分数。

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解题步骤 5.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}}$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x)}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5.6.2

组合 $\frac{2 \sin (x)}{1 + x^{2}}$ 和 $x$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cos (x))$

解题步骤 7

要将 $\ln (1 + x^{2}) \cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \frac{2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 9

组合 $e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})}$ 和 $\frac{2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1.1

运用分配律。

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 10.1.1.2

将 $\ln (1 + x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 10.1.2

运用分配律。

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\ln (1 + x^{2}) \cos (x)) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 10.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) x + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 10.1.4

将 $2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) x + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + x^{2} e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 10.2

重新排序项。

$\frac{2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} x \sin (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \cos (x) \ln (1 + x^{2}) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} x^{2} \cos (x) \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$

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