微积分学示例

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{4} + 6}{x^{3}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{5} - 7 x^{4} + 6$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $3 x^{5} - 7 x^{4} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{x^{3} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.5

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.8

将 $4$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3} + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.9

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3} + 0) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.10

将 $15 x^{4} - 28 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 2.12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.12.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 2.12.2

从 $x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.12.2.1

从 $x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 2.12.2.2

从 $- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) + x^{2} (- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{6}}$

解题步骤 2.12.2.3

从 $x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) + x^{2} (- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{6}}$

解题步骤 3

约去公因数。

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解题步骤 3.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.3

重写表达式。

$\frac{x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6)}{x^{4}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6)}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{15 x \cdot x^{4} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{15 (x^{4} x) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 (x^{4} x^{1}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 x^{4 + 1} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15 x^{5} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{15 x^{5} - 28 x \cdot x^{3} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{15 x^{5} - 28 (x^{3} x) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 x^{5} - 28 (x^{3} x^{1}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{3 + 1} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.6

将 $- 7$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} + 21 x^{4} - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.7

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} + 21 x^{4} - 18}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.2

从 $15 x^{5}$ 中减去 $9 x^{5}$ 。

$\frac{6 x^{5} - 28 x^{4} + 21 x^{4} - 18}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.3

将 $- 28 x^{4}$ 和 $21 x^{4}$ 相加。

$\frac{6 x^{5} - 7 x^{4} - 18}{x^{4}}$

微积分学 示例

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