微积分学示例

$y = \frac{3 \tan (x)}{2 π - \sin (x)}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 \tan (x)}{2 π - \sin (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{2 π - \sin (x)}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{2 π - \sin (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 π - \sin (x)$ 。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [2 π - \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [2 π - \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 π - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $2 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 相加。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5

乘。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 6

组合 $3$ 和 $\frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$ 。

$\frac{3 ((2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{3 (2 π \sec^{2} (x) - \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{3 (2 π \sec^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{3 (2 π {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (2 π \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 (2 π \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.4

乘以 $2 π \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 7.3.1.4.1

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 (\frac{2}{\cos^{2} (x)} π) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.4.2

组合 $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ 和 $π$ 。

$\frac{3 \frac{2 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5

乘以 $3 \frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 7.3.1.5.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{\frac{3 (2 π)}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.6

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.7

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.9

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.10

乘以 $3 (- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)})$ 。

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解题步骤 7.3.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.10.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.12

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 7.3.1.12.1

将 $3 (\tan (x) \cos (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.12.2

约去公因数。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.2

分离分数。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{\cos (x)} \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.4

分离分数。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{1} \sec (x) \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (3 \sec (x) \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.4

合并项。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.4.2

合并。

$\frac{\cos^{2} (x) (\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.4.3

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.4.4

约去 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.4.4.2

重写表达式。

$\frac{6 π + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.4.5

将 $3$ 移到 $\cos^{2} (x)$ 的左侧。

$\frac{6 π + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5

重新排序项。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) \sec (x) \tan (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x) + 6 π}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

微积分学 示例

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