微积分学示例

$y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})]$ 。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} \cdot e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{x}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{4 x}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x e^{4 x}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{4 x}$ 。

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{1}{4} (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{4} (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.9

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.10

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$\frac{1}{4} (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 2.11

将 $e^{4 x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{16}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

解题步骤 3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \cdot 4)$

解题步骤 3.6

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (4 \cdot e^{4 x})$

解题步骤 3.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - 4 (\frac{1}{16}) e^{4 x}$

解题步骤 3.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4}{16} e^{4 x}$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{- 4}{16}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4 e^{4 x}}{16}$

解题步骤 3.10

约去 $- 4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.1

从 $- 4 e^{4 x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{16}$

解题步骤 3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 3.10.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 (4)}$

解题步骤 3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- e^{4 x}}{4}$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x})) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{x}{4} (4 e^{4 x}) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{x}{4}$ 。

$\frac{4 x}{4} e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{4 x}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x e^{4 x}$ 除以 $1$ 。

$x e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.5

要将 $x e^{4 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.6

组合 $x e^{4 x}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4 - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.8

将 $4$ 移到 $x e^{4 x}$ 的左侧。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 \cdot (x e^{4 x}) - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.9

重新排序项。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.10

要将 $\frac{1}{4} e^{4 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.11

组合 $\frac{1}{4} e^{4 x}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.13

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$\frac{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.14

组合 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 和 $4$ 。

$\frac{\frac{e^{4 x} \cdot 4}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.15

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$\frac{\frac{4 \cdot e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.16

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.16.1

约去公因数。

$\frac{\frac{4 e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.16.2

用 $e^{4 x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{e^{4 x} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

解题步骤 4.2.17

从 $e^{4 x}$ 中减去 $e^{4 x}$ 。

$\frac{4 e^{4 x} x + 0}{4}$

解题步骤 4.2.18

将 $4 e^{4 x} x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

解题步骤 4.2.19

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.19.1

约去公因数。

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

解题步骤 4.2.19.2

用 $e^{4 x} x$ 除以 $1$ 。

$e^{4 x} x$

解题步骤 4.3

将 $e^{4 x} x$ 中的因式重新排序。

$x e^{4 x}$

微积分学 示例

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