微积分学示例

$y = \frac{3 x - \tan (x)}{x \sec (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - \tan (x)$ 且 $g (x) = x \sec (x)$ 。

$\frac{x \sec (x) \frac{d}{d x} [3 x - \tan (x)] - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$\frac{x \sec (x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{{(x \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

对 $x \sec (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{x \sec (x) \cdot 3 + x \sec (x) (- \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{x \sec (x) \cdot 3 + x \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.1

将 $3$ 移到 $x \sec (x)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (x \sec (x)) + x \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec (x) \sec^{2} (x) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.3

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 7.4.1.3.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{3 x \sec (x) - x (\sec^{2} (x) \sec (x)) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.3.2

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 7.4.1.3.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x \sec (x) - x (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x \sec (x) - x {\sec (x)}^{2 + 1} + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.4

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.4.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) + (- 3 x - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.4.2

乘以 $- - \tan (x)$ 。

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解题步骤 7.4.1.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) + (- 3 x + 1 \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.4.2.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) + (- 3 x + \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 x + \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))$ 。

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解题步骤 7.4.1.5.1

运用分配律。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x)) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.5.2

运用分配律。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x (x (\sec (x) \tan (x))) - 3 x \sec (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.5.3

运用分配律。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x (x (\sec (x) \tan (x))) - 3 x \sec (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.6

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1.6.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 (x \cdot x) (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.6.2

乘以 $\tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)))$ 。

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解题步骤 7.4.1.6.2.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.6.2.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.1.6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.2

合并 $3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.2.1

从 $3 x \sec (x)$ 中减去 $3 x \sec (x)$ 。

$\frac{- x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + 0 + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $- x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x))$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.3

从 $- x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 7.4.3.1

从 $- x \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.3.2

从 $- 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.3.3

从 $x (\sec (x) \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) (x (\tan^{2} (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.3.4

从 $\tan (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) (x (\tan^{2} (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.3.5

从 $\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x)))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) (x (\tan^{2} (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.3.6

从 $\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) (x (\tan^{2} (x)))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x)) + x (\tan^{2} (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.3.7

从 $\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x)) + x (\tan^{2} (x))) + \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x)) + x (\tan^{2} (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.4

移动 $x (\tan^{2} (x))$ 。

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x) + x (\tan^{2} (x)) - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.5

从 $- x \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$\frac{\sec (x) (- x (\sec^{2} (x)) + x (\tan^{2} (x)) - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.6

从 $x (\tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $- x$ 。

$\frac{\sec (x) (- x (\sec^{2} (x)) - x (- 1 \tan^{2} (x)) - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.7

从 $- x (\sec^{2} (x)) - x (- 1 \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $- x$ 。

$\frac{\sec (x) (- x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.8

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec (x) (- x \cdot 1 - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.10

运用分配律。

$\frac{\sec (x) (- x) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.11

化简。

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解题步骤 7.4.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \sec (x) x + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.11.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \sec (x) x - 3 \sec (x) x^{2} \tan (x) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.4.12

将 $- \sec (x) x - 3 \sec (x) x^{2} \tan (x) + \sec (x) \tan (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{- x \sec (x) - 3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.5

从 $- x \sec (x) - 3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $- x \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x) - 3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.5.2

从 $- 3 x^{2} \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x) + \sec (x) (- 3 x^{2} \tan (x)) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.5.3

从 $\sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x) + \sec (x) (- 3 x^{2} \tan (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.5.4

从 $\sec (x) (- x) + \sec (x) (- 3 x^{2} \tan (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.5.5

从 $\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x)) + \sec (x) (\tan (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.6

约去公因数。

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解题步骤 7.6.1

从 $x^{2} \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x))}{\sec (x) (x^{2} \sec (x))}$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x))}{\sec (x) (x^{2} \sec (x))}$

解题步骤 7.6.3

重写表达式。

$\frac{- x - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

解题步骤 7.7

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

解题步骤 7.8

从 $- 3 x^{2} \tan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) - (3 x^{2} \tan (x)) + \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

解题步骤 7.9

从 $- (x) - (3 x^{2} \tan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 3 x^{2} \tan (x)) + \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

解题步骤 7.10

从 $\tan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 3 x^{2} \tan (x)) - 1 (- \tan (x))}{x^{2} \sec (x)}$

解题步骤 7.11

从 $- (x + 3 x^{2} \tan (x)) - 1 (- \tan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x))}{x^{2} \sec (x)}$

解题步骤 7.12

将 $- (x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x))$ 重写为 $- 1 (x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x))$ 。

$\frac{- 1 (x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x))}{x^{2} \sec (x)}$

解题步骤 7.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

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