微积分学示例

$y = \sqrt[3]{15 x^{2}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{15 x^{2}}$ 重写成 ${(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = {(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.1

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{d}{d x} [{(15 (x^{2}))}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $15 (x^{2})$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} {(x^{2})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} x^{2 (\frac{1}{3})}]$

解题步骤 4.1.2.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 4.2

因为 $15^{\frac{1}{3}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $15^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$15^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 4.7.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 4.9

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$15^{\frac{1}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 4.10

组合 $15^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{15^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 4.11

化简表达式。

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解题步骤 4.11.1

将 $2$ 移到 $15^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 4.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

微积分学 示例

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