微积分学示例

$y = \frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x - 9$ 且 $g (x) = 2 x^{2} + 8$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [2 x - 9] - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $2 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x^{2} + 8) \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $2$ 移到 $2 x^{2} + 8$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $2 x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

化简表达式。

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解题步骤 3.2.12.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 + (- 4 (2 x) - 4 \cdot - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.4

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 16 + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

重新排序项。

$\frac{- 4 x^{2} + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

从 $- 4 x^{2} + 36 x + 16$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.3.6.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{2}) + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.2

从 $36 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.3

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.4

从 $4 (- x^{2}) + 4 (9 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.5

从 $4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

化简分母。

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解题步骤 3.3.7.1

从 $2 x^{2} + 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.7.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 2 \cdot 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7.1.3

从 $2 x^{2} + 2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2} + 4))}^{2}}$

解题步骤 3.3.7.2

对 $2 (x^{2} + 4)$ 运用乘积法则。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{2^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.8.1

约去公因数。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8.2

重写表达式。

$\frac{- x^{2} + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.9

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.10

从 $9 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - (- 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.11

从 $- (x^{2}) - (- 9 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.12

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.13

从 $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.14

将 $- (x^{2} - 9 x - 4)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 9 x - 4)$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

微积分学 示例

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