微积分学示例

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\ln (x)}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\ln (x)}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $x^{\ln (x)}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

解题步骤 4.2

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 4.2.1

将 $x^{\ln (x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ 。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

解题步骤 4.2.2

通过将 $\ln (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\ln (x)})$ 。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

解题步骤 4.3

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

解题步骤 4.4

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

解题步骤 4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

解题步骤 4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

解题步骤 4.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

解题步骤 4.7.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

解题步骤 4.7.3

使用 $\ln^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

解题步骤 4.8

组合 $e^{\ln^{2} (x)}$ 和 $\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ 。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

解题步骤 4.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.9.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.9.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.10

合并分数。

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解题步骤 4.10.1

组合 $2$ 和 $\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ 。

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.10.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 4.11

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 4.12

将 $\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

解题步骤 4.13

将 $x^{\ln (x)}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.13.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

解题步骤 4.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

解题步骤 4.14

化简分子。

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解题步骤 4.14.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

解题步骤 4.14.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

解题步骤 4.14.3

将 $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

微积分学 示例

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