微积分学示例

$y = \frac{t^{2} + 3}{t^{4} - 5 t^{2} + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{2} + 3$ 且 $g (t) = t^{4} - 5 t^{2} + 1$ 。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $t^{2} + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + 0)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $4 t^{3} - 10 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 5 t^{2}) + 2 \cdot 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.2

将 $t$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{3}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)$ 。

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解题步骤 3.4.1.6.1

运用分配律。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3} - 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.6.2

运用分配律。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.6.3

运用分配律。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1.7.1.2.1

移动 $t^{3}$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{2} t - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.5

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.1.7.1.5.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t \cdot t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.5.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.7.1.5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t^{1} t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{1 + 2} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.7

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.1.8

将 $- 10$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7.2

从 $10 t^{3}$ 中减去 $12 t^{3}$ 。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $2 t^{5}$ 中减去 $4 t^{5}$ 。

$\frac{- 2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

从 $- 10 t^{3}$ 中减去 $2 t^{3}$ 。

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 2 t + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

将 $2 t$ 和 $30 t$ 相加。

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

从 $- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t$ 中分解出因数 $2 t$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $- 2 t^{5}$ 中分解出因数 $2 t$ 。

$\frac{2 t (- t^{4}) - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

从 $- 12 t^{3}$ 中分解出因数 $2 t$ 。

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $32 t$ 中分解出因数 $2 t$ 。

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4

从 $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2})$ 中分解出因数 $2 t$ 。

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5

从 $2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)$ 中分解出因数 $2 t$ 。

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $t^{4}$ 重写为 ${(t^{2})}^{2}$ 。

$\frac{2 t (- {(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

使 $u = t^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $t^{2}$ 。

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

分组因式分解。

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解题步骤 3.5.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ 并且它们的和为 $b = - 6$ 。

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解题步骤 3.5.4.1.1

从 $- 6 u$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 (u) + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.1.2

把 $- 6$ 重写为 $2$ 加 $- 8$

$\frac{2 t (- u^{2} + (2 - 8) u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 t (- u^{2} + 2 u - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{2 t ((- u^{2} + 2 u) - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2 t (u (- u + 2) + 8 (- u + 2))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.3

通过因式分解出最大公因数 $- u + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{2 t ((- u + 2) (u + 8))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.5

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 t (- t^{2} + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

从 $- t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 t (- (t^{2}) + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{2 t (- (t^{2}) - 1 (- 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

从 $- (t^{2}) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 t (- (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $- (t^{2} - 2)$ 重写为 $- 1 (t^{2} - 2)$ 。

$\frac{2 t (- 1 (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{((2 t) (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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