微积分学示例

$y = \ln ({(1 - t)}^{- 2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = {(1 - t)}^{- 2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 - t)}^{- 2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(1 - t)}^{- 2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(1 - t)}^{- 2}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

解题步骤 2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 ${(1 - t)}^{- 2}$ 移动到分子。

${(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 2}$ 且 $g (t) = 1 - t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - t$ 。

${(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d t} [1 - t])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

${(1 - t)}^{2} (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

解题步骤 3.3

使用 $1 - t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

${(1 - t)}^{2} (- 2 {(1 - t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

解题步骤 4

通过指数相加将 ${(1 - t)}^{2}$ 乘以 ${(1 - t)}^{- 3}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 ${(1 - t)}^{- 3}$ 。

${(1 - t)}^{- 3} {(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(1 - t)}^{- 3 + 2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

解题步骤 4.3

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

解题步骤 5

根据加法法则， $1 - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))$

解题步骤 6

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

解题步骤 7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- t]$ 相加。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 8

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (- \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

${(1 - t)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 9.2

将 $2$ 移到 ${(1 - t)}^{- 1}$ 的左侧。

$2 \cdot {(1 - t)}^{- 1} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 {(1 - t)}^{- 1} \cdot 1$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 {(1 - t)}^{- 1}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \frac{1}{1 - t}$

解题步骤 12.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{1 - t}$ 。

$\frac{2}{1 - t}$

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