微积分学示例

$y = \arctan (\sqrt{6 t})$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 t}$ 重写成 ${(6 t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 t)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.2

从 $6 t$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.3

对 $6 (t)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d t} [\arctan (6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arctan (t)$ 且 $g (t) = 6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $6^{\frac{1}{2}}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

组合 $6^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 10

将 $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 乘以 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

解题步骤 11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $2$ 移到 $1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 的左侧。

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

对 $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2})) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3

运用分配律。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.2

将 ${(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{1} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.3

计算指数。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.4

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.4.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.4.2.1

约去公因数。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.4.2.2

重写表达式。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{1}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.5

化简。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.6

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.7

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.7.1

移动 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

解题步骤 12.4.7.2

将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.7.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

解题步骤 12.4.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 12.4.7.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.4.7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 12.4.7.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 12.5

重新排序项。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.6

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.6.1

从 $12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.6.1.1

从 $12 t^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.6.1.2

从 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)}$

解题步骤 12.6.1.3

从 $2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)$ 中分解出因数 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}} + 1)}$

解题步骤 12.6.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{1} + 1)}$

解题步骤 12.6.3

化简。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t + 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例