微积分学示例

$y = (x^{3} + 2 x - 7) (3 + x - x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3} + 2 x - 7$ 且 $g (x) = 3 + x - x^{2}$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [3 + x - x^{2}] + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 + x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$(x^{3} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - (2 x)) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x^{3} + 2 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.13

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 + 0)$

解题步骤 2.14

将 $3 x^{2} + 2$ 和 $0$ 相加。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.1.2

从 $(3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + 1 ((3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + 1 ((3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$

解题步骤 3.2

将 $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ 乘以 $1$ 。

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(1 - 2 x) (x^{3} + 2 x - 7) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - 2 x) (x^{3} + 2 x - 7)$ 。

$1 x^{3} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.2

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 2 x + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 (x^{3} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{3 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.6.1

移动 $x$ 。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.7

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.2.8

将 $- 7$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.3

将 $2 x$ 和 $14 x$ 相加。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 3.4.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ 。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5

化简每一项。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.5.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 (x^{2} x) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{2 + 1} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 \cdot x - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.6

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.5.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.7.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{4} - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4} - x^{2} \cdot 2$

解题步骤 3.4.5.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4} - 2 x^{2}$

解题步骤 3.4.6

从 $9 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4}$

解题步骤 3.5

将 $x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$4 x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} + 6 + 2 x - 3 x^{4}$

解题步骤 3.6

将 $- 7$ 和 $6$ 相加。

$4 x^{3} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} - 1 + 2 x - 3 x^{4}$

解题步骤 3.7

从 $- 2 x^{4}$ 中减去 $3 x^{4}$ 。

$4 x^{3} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} - 1 + 2 x$

解题步骤 3.8

将 $- 4 x^{2}$ 和 $7 x^{2}$ 相加。

$4 x^{3} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 16 x - 1 + 2 x$

解题步骤 3.9

将 $16 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 x^{3} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 18 x - 1$

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