微积分学示例

$y = (\sqrt{x} + 1) e^{- 2 x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ 且 $g (x) = e^{- 2 x}$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

解题步骤 3.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

解题步骤 4.3.2

将 $- 2$ 移到 $(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ 的左侧。

$- 2 \cdot ((x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

解题步骤 4.4

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

要将 $- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13

组合 $- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (2 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 1) e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x}) x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.3

运用分配律。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4

化简每一项。

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解题步骤 16.4.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 16.4.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 4 x^{1} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4.2

化简 $- 4 x^{1} e^{- 2 x}$ 。

$\frac{- 4 x e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 4 x e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.5

重新排序项。

$\frac{- 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6

从 $- 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 16.6.1

从 $- 4 e^{- 2 x} x$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.2

从 $- 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.3

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.4

从 $e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.5

从 $e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.7

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x) - 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.8

从 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x) - (4 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.9

从 $- (4 x) - (4 x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.10

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.11

从 $- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.12

将 $- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)$ 重写为 $- 1 (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- 2 x} (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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