微积分学示例

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ 无定义。

$x < 0, x = 4$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $4$ 时， $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $4$ 时， $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 4$ 是一条垂直渐近线。

$x = 4$

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.2

计算极限值。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.2.2.3

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.2.2.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.2.2.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.2.4

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.4

计算极限值。

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解题步骤 3.4.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.4.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.4.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.1.2

对于根式，当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.7

化简分子。

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解题步骤 3.5.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.9

化简。

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解题步骤 3.5.3.9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.9.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.5

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.5.6

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.6

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

解题步骤 3.8

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 3.10

化简答案。

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解题步骤 3.10.1

化简分子。

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解题步骤 3.10.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2

化简分母。

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解题步骤 3.10.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.2.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.1.2

约去公因数。

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.1.3

重写表达式。

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1 + 0 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

解题步骤 3.10.2.4

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 + 0}$

解题步骤 3.10.2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 3.10.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 4$

水平渐近线： $y = 0$

无法求斜渐近线

解题步骤 7

微积分学 示例

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