微积分学示例

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 3.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 3.1.1.2.2

因为函数 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $2$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 3.1.1.2.2.1

思考去掉常数倍数 $2$ 后的极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 3.1.1.2.2.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 3.1.1.2.3

计算极限值。

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解题步骤 3.1.1.2.3.1

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 3.1.1.2.3.2

化简答案。

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解题步骤 3.1.1.2.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 3.1.1.2.3.2.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 3.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 3.1.1.3.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 3.1.1.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

解题步骤 3.1.1.3.4

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.1.3.5

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

解题步骤 3.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

解题步骤 3.1.3.2

根据加法法则， $2 e^{x} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

解题步骤 3.1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

解题步骤 3.1.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

解题步骤 3.1.3.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

解题步骤 3.1.3.5

将 $2 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

解题步骤 3.1.3.6

根据加法法则， $e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.1.3.7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.1.3.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

解题步骤 3.1.3.9

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 3.1.4

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 3.1.4.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} 2$

解题步骤 3.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$2$

解题步骤 4

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 4.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 4.1.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 4.1.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 4.2

因为指数 $x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 4.3

计算极限值。

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解题步骤 4.3.1

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

解题步骤 4.3.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

解题步骤 4.4

因为指数 $x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

解题步骤 4.5

计算极限值。

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解题步骤 4.5.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

解题步骤 4.5.2

化简答案。

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解题步骤 4.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

解题步骤 4.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

解题步骤 4.5.2.1.3

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 6}{0 + 1}$

解题步骤 4.5.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 6}{1}$

解题步骤 4.5.2.3

用 $- 6$ 除以 $1$ 。

$- 6$

解题步骤 5

列出水平渐近线：

$y = 2, - 6$

解题步骤 6

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 2, - 6$

不存在斜渐近线

解题步骤 8

微积分学 示例

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