微积分学示例

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ 无定义。

$x = \ln (9)$

解题步骤 2

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 2.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

解题步骤 2.2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.2.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

解题步骤 2.2.1.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

解题步骤 2.2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

解题步骤 2.2.1.3.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 9}$

解题步骤 2.2.1.3.3

计算极限值。

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解题步骤 2.2.1.3.3.1

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 9}$

解题步骤 2.2.1.3.3.2

化简答案。

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解题步骤 2.2.1.3.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$2 \frac{\infty}{\infty - 9}$

解题步骤 2.2.1.3.3.2.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2.1.3.3.2.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2.1.3.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2.1.3.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

解题步骤 2.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.2.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

解题步骤 2.2.3.3

根据加法法则， $e^{x} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

解题步骤 2.2.3.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 9]}$

解题步骤 2.2.3.5

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

解题步骤 2.2.3.6

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$2 lim_{x \to \infty} 1$

解题步骤 2.3

计算极限值。

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解题步骤 2.3.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

解题步骤 3.1.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

解题步骤 3.2

因为指数 $x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $0$ 。

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 9}$

解题步骤 3.4

因为指数 $x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $0$ 。

$2 \frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} 9}$

解题步骤 3.5

计算极限值。

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解题步骤 3.5.1

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 9}$

解题步骤 3.5.2

化简答案。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $0$ 和 $0 - 1 \cdot 9$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 \cdot 9}$

解题步骤 3.5.2.1.2

从 $- 1 \cdot 9$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 (9)}$

解题步骤 3.5.2.1.3

从 $- 1 (0) - 1 (9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 9)}$

解题步骤 3.5.2.1.4

从 $0$ 中分解出因数 $9$ 。

$2 \frac{9 (0)}{- 1 (0 + 9)}$

解题步骤 3.5.2.1.5

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.5.1

从 $- 1 (0 + 9)$ 中分解出因数 $9$ 。

$2 \frac{9 (0)}{9 (- 1 (0 + 1))}$

解题步骤 3.5.2.1.5.2

约去公因数。

$2 \frac{9 \cdot 0}{9 (- 1 (0 + 1))}$

解题步骤 3.5.2.1.5.3

重写表达式。

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{0}{- 1})$

解题步骤 3.5.2.4

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$2 \cdot 0$

解题步骤 3.5.2.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 2, 0$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = \ln (9)$

水平渐近线： $y = 2, 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

微积分学 示例

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