微积分学示例

$\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

解题步骤 3.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3

计算极限值。

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解题步骤 3.3.1

约去 $x$ 的公因数。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2.2.3

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2.2.3.2

约去公因数。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2.2.3.3

重写表达式。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.5

将极限移入根号内。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.6

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + 0}}$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

化简分母。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 3.6.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.6.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.6.2.2

重写表达式。

$2 \cdot 1$

解题步骤 3.6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 4.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

解题步骤 4.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3

计算极限值。

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解题步骤 4.3.1

约去 $x$ 的公因数。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

约去公因数。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.2.1.2

重写表达式。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.2.2.3

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.2.2.3.2

约去公因数。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.2.2.3.3

重写表达式。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.5

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.6

将极限移入根号内。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.7

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + 0}}$

解题步骤 4.6

化简答案。

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解题步骤 4.6.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 0 + 0}}$

解题步骤 4.6.1.2

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + 0}})$

解题步骤 4.6.2

化简分母。

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解题步骤 4.6.2.1

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

解题步骤 4.6.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

解题步骤 4.6.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$2 (- \frac{1}{1})$

解题步骤 4.6.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.3.1

约去公因数。

$2 (- \frac{1}{1})$

解题步骤 4.6.3.2

重写表达式。

$2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.6.4

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.6.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot - 1$

解题步骤 4.6.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2$

解题步骤 5

列出水平渐近线：

$y = 2, - 2$

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 2, - 2$

无法求斜渐近线

解题步骤 8

微积分学 示例

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