微积分学示例

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$ 。

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$

解题步骤 2

两边同时乘以 $1 - e^{x}$ 。

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

约去 $1 - e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

解题步骤 3.1.1.2

重写表达式。

$1 + e^{x} = y (1 - e^{x})$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $y (1 - e^{x})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$1 + e^{x} = y \cdot 1 + y (- e^{x})$

解题步骤 3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$1 + e^{x} = y + y (- e^{x})$

解题步骤 3.2.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$1 + e^{x} = y - y e^{x}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $y e^{x}$ 。

$1 + e^{x} + y e^{x} = y$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$e^{x} + y e^{x} = y - 1$

解题步骤 4.3

从 $e^{x} + y e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.3.1

乘以 $1$ 。

$e^{x} \cdot 1 + y e^{x} = y - 1$

解题步骤 4.3.2

从 $y e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} y = y - 1$

解题步骤 4.3.3

从 $e^{x} \cdot 1 + e^{x} y$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (1 + y) = y - 1$

解题步骤 4.4

将 $e^{x} (1 + y) = y - 1$ 中的每一项除以 $1 + y$ 并化简。

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解题步骤 4.4.1

将 $e^{x} (1 + y) = y - 1$ 中的每一项都除以 $1 + y$ 。

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

解题步骤 4.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.1

约去 $1 + y$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

解题步骤 4.4.2.1.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$e^{x} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

解题步骤 4.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.3.1

在公分母上合并分子。

$e^{x} = \frac{y - 1}{1 + y}$

解题步骤 4.5

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

解题步骤 4.6

展开左边。

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解题步骤 4.6.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

解题步骤 4.6.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

解题步骤 4.6.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

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