微积分学示例

$y = \ln (\frac{x}{x - 1})$

解题步骤 1

将方程乘以 $x - 1$ 。

$(x - 1) (y) = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $(x - 1) (y)$ 。

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解题步骤 2.1.1

运用分配律。

$x y - 1 y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

解题步骤 2.1.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$x y - y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

化简 $(\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.1.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.1.1.1

运用分配律。

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x + \ln (\frac{x}{x - 1}) \cdot - 1$

解题步骤 3.1.1.2

将 $- 1$ 移到 $\ln (\frac{x}{x - 1})$ 的左侧。

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - 1 \cdot \ln (\frac{x}{x - 1})$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1 \ln (\frac{x}{x - 1})$ 重写为 $- \ln (\frac{x}{x - 1})$ 。

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$

解题步骤 3.1.3

将 $\ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$ 中的因式重新排序。

$x y - y = x \ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (\frac{x}{x - 1})$

解题步骤 4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- x \ln (\frac{x}{x - 1}) + \ln (\frac{x}{x - 1}) = - x y + y$

解题步骤 5

将方程重写为 $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ 。

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$

解题步骤 6

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{x}{x - 1})} = e^{y}$

解题步骤 7

使用对数的定义将 $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{y} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将方程乘以 $x - 1$ 。

$(x - 1) (e^{y}) = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

化简 $(x - 1) (e^{y})$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

运用分配律。

$x e^{y} - 1 e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 1 e^{y}$ 重写为 $- e^{y}$ 。

$x e^{y} - e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

约去公因数。

$x e^{y} - e^{y} = \frac{x}{x - 1} (x - 1)$

解题步骤 8.3.1.2

重写表达式。

$x e^{y} - e^{y} = x$

解题步骤 8.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.4.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x e^{y} - e^{y} - x = 0$

解题步骤 8.4.2

在等式两边都加上 $e^{y}$ 。

$x e^{y} - x = e^{y}$

解题步骤 8.4.3

从 $x e^{y} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.4.3.1

从 $x e^{y}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (e^{y}) - x = e^{y}$

解题步骤 8.4.3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (e^{y}) + x \cdot - 1 = e^{y}$

解题步骤 8.4.3.3

从 $x (e^{y}) + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (e^{y} - 1) = e^{y}$

解题步骤 8.4.4

将 $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ 中的每一项除以 $e^{y} - 1$ 并化简。

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解题步骤 8.4.4.1

将 $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ 中的每一项都除以 $e^{y} - 1$ 。

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

解题步骤 8.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.4.2.1

约去 $e^{y} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

解题步骤 8.4.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

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