微积分学示例

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $3 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $3 \sin^{2} (x)$ 。

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

从 $- 3 \cos^{2} (x)$ 中减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 5

重新排列多项式。

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 6

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

解题步骤 7

将 $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

解题步骤 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 9

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 9.1

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 9.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 10.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12

在 $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 12.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

解题步骤 12.4

化简 $2 π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 12.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 12.4.2

合并分数。

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解题步骤 12.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 12.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 12.4.3

化简分子。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 12.4.3.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 12.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

在 $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 13.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 13.4

化简 $2 π - \frac{5 π}{6}$ 。

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解题步骤 13.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 13.4.2

合并分数。

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解题步骤 13.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 13.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 13.4.3

化简分子。

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解题步骤 13.4.3.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 13.4.3.2

从 $12 π$ 中减去 $5 π$ 。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 13.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

合并解集。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15.2

将 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

求在区间 $(0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 16.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 16.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{6} + π (0)$

解题步骤 16.1.2

化简。

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解题步骤 16.1.2.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{6} + 0$

解题步骤 16.1.2.2

将 $\frac{π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{6}$

解题步骤 16.1.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 16.2

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 16.2.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

解题步骤 16.2.2

化简。

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解题步骤 16.2.2.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5 π}{6} + 0$

解题步骤 16.2.2.2

将 $\frac{5 π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 π}{6}$

解题步骤 16.2.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

解题步骤 16.3

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 16.3.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{6} + π (1)$

解题步骤 16.3.2

化简。

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解题步骤 16.3.2.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{6} + π$

解题步骤 16.3.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 16.3.2.3

合并分数。

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解题步骤 16.3.2.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

解题步骤 16.3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

解题步骤 16.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 16.3.2.4.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

解题步骤 16.3.2.4.2

将 $π$ 和 $6 π$ 相加。

$\frac{7 π}{6}$

解题步骤 16.3.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $\frac{7 π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

解题步骤 16.4

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 16.4.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

解题步骤 16.4.2

化简。

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解题步骤 16.4.2.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 π}{6} + π$

解题步骤 16.4.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 16.4.2.3

合并分数。

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解题步骤 16.4.2.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

解题步骤 16.4.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

解题步骤 16.4.2.4

化简分子。

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解题步骤 16.4.2.4.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

解题步骤 16.4.2.4.2

将 $5 π$ 和 $6 π$ 相加。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 16.4.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $\frac{11 π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$

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