微积分学示例

$y = 17 x - 6 x^{2}$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

将 $17 x$ 和 $- 6 x^{2}$ 重新排序。

$y = - 6 x^{2} + 17 x$

解题步骤 1.1.2

对 $- 6 x^{2} + 17 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 6$

$b = 17$

$c = 0$

解题步骤 1.1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{17}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 1.1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$d = \frac{17}{- 12}$

解题步骤 1.1.2.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{17}{12}$

解题步骤 1.1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{17^{2}}{4 \cdot - 6}$

解题步骤 1.1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.1

对 $17$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{289}{4 \cdot - 6}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 6$ 。

$e = 0 - \frac{289}{- 24}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$e = 0 - - \frac{289}{24}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.4

乘以 $- - \frac{289}{24}$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 + 1 (\frac{289}{24})$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.4.2

将 $\frac{289}{24}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 + \frac{289}{24}$

解题步骤 1.1.2.4.2.2

将 $0$ 和 $\frac{289}{24}$ 相加。

$e = \frac{289}{24}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 6 {(x - \frac{17}{12})}^{2} + \frac{289}{24}$ 。

$- 6 {(x - \frac{17}{12})}^{2} + \frac{289}{24}$

解题步骤 1.1.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - 6 {(x - \frac{17}{12})}^{2} + \frac{289}{24}$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 6$

$h = \frac{17}{12}$

$k = \frac{289}{24}$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{17}{12}, \frac{289}{24})$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 6}$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $4$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{1}{- 24}$

解题步骤 1.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{24}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{17}{12}, 12)$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{17}{12}$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{145}{12}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(\frac{17}{12}, \frac{289}{24})$

焦点： $(\frac{17}{12}, 12)$

对称轴： $x = \frac{17}{12}$

准线： $y = \frac{145}{12}$

方向：开口向下

顶点： $(\frac{17}{12}, \frac{289}{24})$

焦点： $(\frac{17}{12}, 12)$

对称轴： $x = \frac{17}{12}$

准线： $y = \frac{145}{12}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - 6 {(0)}^{2} + 17 (0)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - 6 \cdot 0 + 17 (0)$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 17 (0)$

解题步骤 2.2.1.3

将 $17$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 0$ 处的值为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - 6 {(2)}^{2} + 17 (2)$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = - 6 \cdot 4 + 17 (2)$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = - 24 + 17 (2)$

解题步骤 2.5.1.3

将 $17$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - 24 + 34$

解题步骤 2.5.2

将 $- 24$ 和 $34$ 相加。

$f (2) = 10$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $10$ 。

$y = 10$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - 6 {(3)}^{2} + 17 (3)$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 6 \cdot 9 + 17 (3)$

解题步骤 2.8.1.2

将 $- 6$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 54 + 17 (3)$

解题步骤 2.8.1.3

将 $17$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - 54 + 51$

解题步骤 2.8.2

将 $- 54$ 和 $51$ 相加。

$f (3) = - 3$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 2.10

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ \frac{17}{12} & \frac{289}{24} \\ 2 & 10 \\ 3 & - 3 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(\frac{17}{12}, \frac{289}{24})$

焦点： $(\frac{17}{12}, 12)$

对称轴： $x = \frac{17}{12}$

准线： $y = \frac{145}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ \frac{17}{12} & \frac{289}{24} \\ 2 & 10 \\ 3 & - 3 \end{array}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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