微积分学示例

$y = 14 x - 2 x^{2}$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

将 $14 x$ 和 $- 2 x^{2}$ 重新排序。

$y = - 2 x^{2} + 14 x$

解题步骤 1.1.2

对 $- 2 x^{2} + 14 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 2$

$b = 14$

$c = 0$

解题步骤 1.1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{14}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1

约去 $14$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (- 2)}$

解题步骤 1.1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{7}{- 2}$

解题步骤 1.1.2.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{7}{2}$

解题步骤 1.1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.1

对 $14$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$e = 0 - \frac{196}{- 8}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.3

约去 $196$ 和 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.3.1

从 $196$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 (49)}{- 8}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.3.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{49}{- 2}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$e = 0 - - \frac{49}{2}$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.5

乘以 $- - \frac{49}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 + 1 (\frac{49}{2})$

解题步骤 1.1.2.4.2.1.5.2

将 $\frac{49}{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 + \frac{49}{2}$

解题步骤 1.1.2.4.2.2

将 $0$ 和 $\frac{49}{2}$ 相加。

$e = \frac{49}{2}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$ 。

$- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

解题步骤 1.1.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 2$

$h = \frac{7}{2}$

$k = \frac{49}{2}$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{- 8}$

解题步骤 1.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{7}{2}$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{197}{8}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

焦点： $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

对称轴： $x = \frac{7}{2}$

准线： $y = \frac{197}{8}$

方向：开口向下

顶点： $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

焦点： $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

对称轴： $x = \frac{7}{2}$

准线： $y = \frac{197}{8}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 14 (3)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 14 (3)$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 18 + 14 (3)$

解题步骤 2.2.1.3

将 $14$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - 18 + 42$

解题步骤 2.2.2

将 $- 18$ 和 $42$ 相加。

$f (3) = 24$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $24$ 。

$y = 24$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} + 14 (2)$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = - 2 \cdot 4 + 14 (2)$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = - 8 + 14 (2)$

解题步骤 2.5.1.3

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - 8 + 28$

解题步骤 2.5.2

将 $- 8$ 和 $28$ 相加。

$f (2) = 20$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $20$ 。

$20$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $20$ 。

$y = 20$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = - 2 {(5)}^{2} + 14 (5)$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = - 2 \cdot 25 + 14 (5)$

解题步骤 2.8.1.2

将 $- 2$ 乘以 $25$ 。

$f (5) = - 50 + 14 (5)$

解题步骤 2.8.1.3

将 $14$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = - 50 + 70$

解题步骤 2.8.2

将 $- 50$ 和 $70$ 相加。

$f (5) = 20$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $20$ 。

$20$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 5$ 处的值为 $20$ 。

$y = 20$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 14 (6)$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 14 (6)$

解题步骤 2.11.1.2

将 $- 2$ 乘以 $36$ 。

$f (6) = - 72 + 14 (6)$

解题步骤 2.11.1.3

将 $14$ 乘以 $6$ 。

$f (6) = - 72 + 84$

解题步骤 2.11.2

将 $- 72$ 和 $84$ 相加。

$f (6) = 12$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $12$ 。

$12$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 6$ 处的值为 $12$ 。

$y = 12$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

焦点： $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

对称轴： $x = \frac{7}{2}$

准线： $y = \frac{197}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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