微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x} - \ln (x)$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{1}{x} - \ln (x)$ 无定义。

$x \leq 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{1}{x} - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{1}{x} - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 1.3

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 1$

$m = 1$

解题步骤 1.5

因为 $n = m$ ，所以水平渐近线就是在 $a = - 1$ 和 $b = 1$ 上的直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

$y = - 1$

解题步骤 1.6

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = - 1$

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = - 1$

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{1} - \ln (1)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1 - \ln (1)$

解题步骤 2.2.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = 1 - 0$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = 1 + 0$

解题步骤 2.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (1) = 1$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 2.3

把 $1$ 转换成小数。

$y = 1$

解题步骤 3

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{1}{2} - \ln (2)$

解题步骤 3.2

最终答案为 $\frac{1}{2} - \ln (2)$ 。

$\frac{1}{2} - \ln (2)$

解题步骤 3.3

把 $\frac{1}{2} - \ln (2)$ 转换成小数。

$y = - 0.19314718$

解题步骤 4

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} - \ln (3)$

解题步骤 4.2

最终答案为 $\frac{1}{3} - \ln (3)$ 。

$\frac{1}{3} - \ln (3)$

解题步骤 4.3

把 $\frac{1}{3} - \ln (3)$ 转换成小数。

$y = - 0.76527895$

解题步骤 5

可以使用 $x = 0$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 1), (2, - 0.19314718), (3, - 0.76527895)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.193 \\ 3 & - 0.765 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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