微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

解题步骤 1

求 $y = x \sqrt{16 - x^{2}}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $4 + x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $4 + x$ 设为等于 $0$ 。

$4 + x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.3

将 $4 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $4 - x$ 设为等于 $0$ 。

$4 - x = 0$

解题步骤 1.2.3.2

求解 $x$ 的 $4 - x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- x = - 4$

解题步骤 1.2.3.2.2

将 $- x = - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

将 $- x = - 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.4

最终解为使 $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ 成立的所有值。

$x = - 4, 4$

解题步骤 1.2.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

解题步骤 1.2.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 1.2.6.1

检验区间 $x < - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.6.1.1

选择区间 $x < - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 6$

解题步骤 1.2.6.1.2

使用原不等式中的 $- 6$ 替换 $x$ 。

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

解题步骤 1.2.6.1.3

左边的 $- 20$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 1.2.6.2

检验区间 $- 4 < x < 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.6.2.1

选择区间 $- 4 < x < 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 1.2.6.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

解题步骤 1.2.6.2.3

左边的 $16$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 1.2.6.3

检验区间 $x > 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.2.6.3.1

选择区间 $x > 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 6$

解题步骤 1.2.6.3.2

使用原不等式中的 $6$ 替换 $x$ 。

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

解题步骤 1.2.6.3.3

左边的 $- 20$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 1.2.6.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 4$ 为假

$- 4 < x < 4$ 为真

$x > 4$ 为假

$x < - 4$ 为假

$- 4 < x < 4$ 为真

$x > 4$ 为假

解题步骤 1.2.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$- 4 \leq x \leq 4$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 4, 4]$

集合符号：

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

区间计数法：

$[- 4, 4]$

集合符号：

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

解题步骤 2

要求端点，请将定义域 $x$ 值的边界值代入 $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

解题步骤 2.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 + 4)}$

解题步骤 2.2.4

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 \cdot 8}$

解题步骤 2.2.5

将 $0$ 乘以 $8$ 。

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.7

乘以零。

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解题步骤 2.2.7.1

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 4) = - 4 \cdot 0$

解题步骤 2.2.7.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (- 4) = 0$

解题步骤 2.2.8

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

解题步骤 2.4

化简结果。

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解题步骤 2.4.1

去掉圆括号。

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

解题步骤 2.4.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - (4))}$

解题步骤 2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - 4)}$

解题步骤 2.4.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (4) = 4 \sqrt{8 \cdot 0}$

解题步骤 2.4.5

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$f (4) = 4 \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (4) = 4 \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.7

乘以零。

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解题步骤 2.4.7.1

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (4) = 4 \cdot 0$

解题步骤 2.4.7.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (4) = 0$

解题步骤 2.4.8

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

端点为 $(- 4, 0), (4, 0)$ 。

$(- 4, 0), (4, 0)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $- 3$ 代入 $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。在本例中，该点为 $(- 3, - 3 \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

去掉圆括号。

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f (- 3) = - 3 \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4 - (- 3)$ 乘以 $1$ 。

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 - (- 3)}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 + 3}$

解题步骤 4.1.2.5

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (- 3) = - 3 \sqrt{7}$

解题步骤 4.1.2.6

最终答案为 $- 3 \sqrt{7}$ 。

$y = - 3 \sqrt{7}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。在本例中，该点为 $(- 2, - 4 \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

去掉圆括号。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 + 2)}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.2.2.5

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{12}$

解题步骤 4.2.2.6

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.2.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{4 (3)}$

解题步骤 4.2.2.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

解题步骤 4.2.2.7

从根式下提出各项。

$f (- 2) = - 2 (2 \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.8

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.2.9

最终答案为 $- 4 \sqrt{3}$ 。

$y = - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 4.3

将 $x$ 的值 $- 1$ 代入 $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。在本例中，该点为 $(- 1, - \sqrt{15})$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

去掉圆括号。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 + 1)}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 \cdot 5}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f (- 1) = - 1 \sqrt{15}$

解题步骤 4.3.2.6

将 $- 1 \sqrt{15}$ 重写为 $- \sqrt{15}$ 。

$f (- 1) = - \sqrt{15}$

解题步骤 4.3.2.7

最终答案为 $- \sqrt{15}$ 。

$y = - \sqrt{15}$

解题步骤 4.4

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。在本例中，该点为 $(0, 0)$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

解题步骤 4.4.2

化简结果。

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解题步骤 4.4.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 - (0))}$

解题步骤 4.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 + 0)}$

解题步骤 4.4.2.4

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 \sqrt{4 \cdot 4}$

解题步骤 4.4.2.5

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

解题步骤 4.4.2.6

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 4.4.2.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 \cdot 4$

解题步骤 4.4.2.8

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.4.2.9

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 4.5

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。在本例中，该点为 $(1, \sqrt{15})$ 。

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解题步骤 4.5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

解题步骤 4.5.2

化简结果。

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解题步骤 4.5.2.1

去掉圆括号。

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

解题步骤 4.5.2.2

将 $\sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

解题步骤 4.5.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

解题步骤 4.5.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

解题步骤 4.5.2.5

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

解题步骤 4.5.2.6

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \sqrt{15}$

解题步骤 4.5.2.7

最终答案为 $\sqrt{15}$ 。

$y = \sqrt{15}$

解题步骤 4.6

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。在本例中，该点为 $(2, 4 \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

解题步骤 4.6.2

化简结果。

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解题步骤 4.6.2.1

去掉圆括号。

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

解题步骤 4.6.2.2

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - (2))}$

解题步骤 4.6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - 2)}$

解题步骤 4.6.2.4

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f (2) = 2 \sqrt{6 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.2.5

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 2 \sqrt{12}$

解题步骤 4.6.2.6

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.6.2.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (2) = 2 \sqrt{4 (3)}$

解题步骤 4.6.2.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (2) = 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

解题步骤 4.6.2.7

从根式下提出各项。

$f (2) = 2 (2 \sqrt{3})$

解题步骤 4.6.2.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 4 \sqrt{3}$

解题步骤 4.6.2.9

最终答案为 $4 \sqrt{3}$ 。

$y = 4 \sqrt{3}$

解题步骤 4.7

将 $x$ 的值 $3$ 代入 $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。在本例中，该点为 $(3, 3 \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 4.7.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

解题步骤 4.7.2

化简结果。

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解题步骤 4.7.2.1

去掉圆括号。

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

解题步骤 4.7.2.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - (3))}$

解题步骤 4.7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - 3)}$

解题步骤 4.7.2.4

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f (3) = 3 \sqrt{7 \cdot 1}$

解题步骤 4.7.2.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f (3) = 3 \sqrt{7}$

解题步骤 4.7.2.6

最终答案为 $3 \sqrt{7}$ 。

$y = 3 \sqrt{7}$

解题步骤 4.8

平方根可以使用顶点周围的点 $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, - 7.94), (- 2, - 6.93), (- 1, - 3.87), (0, 0), (1, 3.87), (2, 6.93), (3, 7.94)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - 7.94 \\ - 2 & - 6.93 \\ - 1 & - 3.87 \\ 0 & 0 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 6.93 \\ 3 & 7.94 \\ 4 & 0 \end{array}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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