微积分学示例

$- 4 x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} + 5 x^{2} - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

解题步骤 1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 = x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

解题步骤 2

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} = - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $5 y^{2}$ 。

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} = - 4 x + 4 y - 6$

解题步骤 2.3

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x = 4 y - 6$

解题步骤 2.4

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

解题步骤 2.5

从 $9$ 中减去 $30$ 。

$- 6 y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

解题步骤 2.6

将 $- 6 y^{2}$ 和 $5 y^{2}$ 相加。

$- y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

解题步骤 2.7

将 $- 4 y$ 和 $y$ 相加。

$- y^{2} - 3 y - 21 + 10 x + 17 - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

解题步骤 2.8

从 $- 3 y$ 中减去 $3 y$ 。

$- y^{2} - 6 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

解题步骤 2.9

从 $- 6 y$ 中减去 $4 y$ 。

$- y^{2} - 10 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

解题步骤 2.10

将 $- 21$ 和 $17$ 相加。

$- y^{2} - 10 y + 10 x - 4 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

解题步骤 2.11

将 $10 x$ 和 $4 x$ 相加。

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 4 - 60 - x^{2} = - 6$

解题步骤 2.12

从 $- 4$ 中减去 $60$ 。

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 64 - x^{2} = - 6$

解题步骤 2.13

移动 $- 64$ 。

$- y^{2} - 10 y + 14 x - x^{2} - 64 = - 6$

解题步骤 2.14

移动 $- 10 y$ 。

$- y^{2} + 14 x - x^{2} - 10 y - 64 = - 6$

解题步骤 2.15

移动 $14 x$ 。

$- y^{2} - x^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

解题步骤 2.16

将 $- y^{2}$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

解题步骤 3

将所有不包含变量的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $64$ 。

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = - 6 + 64$

解题步骤 3.2

将 $- 6$ 和 $64$ 相加。

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = 58$

解题步骤 4

等式两边同时除以 $- 1$ 。

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$

解题步骤 5

对 $x^{2} - 14 x$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2

约去 $- 14$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $- 14$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 7}{1}$

解题步骤 5.3.2.2.4

用 $- 7$ 除以 $1$ 。

$d = - 7$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $- 14$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{196}{4}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $196$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 49$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$e = 0 - 49$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $49$ 。

$e = - 49$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - 7)}^{2} - 49$ 。

${(x - 7)}^{2} - 49$

解题步骤 6

在方程 $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ 中，用 ${(x - 7)}^{2} - 49$ 代替 $x^{2} - 14 x$ 。

${(x - 7)}^{2} - 49 + y^{2} + 10 y = - 58$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $49$ 的方法来将 $- 49$ 移到等式右边。

${(x - 7)}^{2} + y^{2} + 10 y = - 58 + 49$

解题步骤 8

对 $y^{2} + 10 y$ 进行配方。

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解题步骤 8.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

解题步骤 8.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 8.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.3.2

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{1}$

解题步骤 8.3.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$d = 5$

解题步骤 8.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 8.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.2.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

解题步骤 8.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{100}{4}$

解题步骤 8.4.2.1.3

用 $100$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 25$

解题步骤 8.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$e = 0 - 25$

解题步骤 8.4.2.2

从 $0$ 中减去 $25$ 。

$e = - 25$

解题步骤 8.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 5)}^{2} - 25$ 。

${(y + 5)}^{2} - 25$

解题步骤 9

在方程 $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ 中，用 ${(y + 5)}^{2} - 25$ 代替 $y^{2} + 10 y$ 。

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 58 + 49$

解题步骤 10

通过在等式两边同时加上 $25$ 的方法来将 $- 25$ 移到等式右边。

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 58 + 49 + 25$

解题步骤 11

化简 $- 58 + 49 + 25$ 。

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解题步骤 11.1

将 $- 58$ 和 $49$ 相加。

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 9 + 25$

解题步骤 11.2

将 $- 9$ 和 $25$ 相加。

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$

解题步骤 12

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 13

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = 4$

$h = 7$

$k = - 5$

解题步骤 14

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(7, - 5)$

解题步骤 15

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(7, - 5)$

半径： $4$

解题步骤 16

微积分学 示例

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