微积分学示例

$x e^{x}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $x e^{x}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to - \infty} x e^{x}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

将 $x e^{x}$ 重写为 $\frac{x}{e^{- x}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

解题步骤 3.2

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

解题步骤 3.2.1.2

首项系数为正数的奇次多项式在无穷远处的极限为负无穷。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

解题步骤 3.2.1.3

因为指数 $- x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{- x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 3.2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

解题步骤 3.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

解题步骤 3.2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.2.3.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

解题步骤 3.2.3.7

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

解题步骤 3.2.3.8

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

解题步骤 3.2.4

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

解题步骤 3.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

解题步骤 3.3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

解题步骤 3.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{- x}}$ 趋于 $0$ 。

$- 0$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

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