微积分学示例

$x^{2} e^{- x}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $x^{2} e^{- x}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} x^{2} e^{- x}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2} e^{- x}$ 重写为 $\frac{x^{2}}{e^{x}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

解题步骤 3.2

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 3.2.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 3.2.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

解题步骤 3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

解题步骤 3.4

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.4.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 3.4.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 3.4.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.4.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.4.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.4.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.4.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 3.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{x}}$ 趋于 $0$ 。

$2 \cdot 0$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

微积分学 示例

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