微积分学示例

$f (x) = 5 x^{2} + 6 x - 11$ , $x = - 2$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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解题步骤 1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$y = 5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$

解题步骤 1.2

化简 $5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$ 。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 5 \cdot 4 + 6 (- 2) - 11$

解题步骤 1.2.1.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$y = 20 + 6 (- 2) - 11$

解题步骤 1.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$y = 20 - 12 - 11$

解题步骤 1.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $20$ 中减去 $12$ 。

$y = 8 - 11$

解题步骤 1.2.2.2

从 $8$ 中减去 $11$ 。

$y = - 3$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = - 2$ 和 $y = - 3$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{2} + 6 x - 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

解题步骤 2.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$10 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 x + 6 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $10 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$10 x + 6$

解题步骤 2.5

计算在 $x = - 2$ 处的导数。

$10 (- 2) + 6$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $10$ 乘以 $- 2$ 。

$- 20 + 6$

解题步骤 2.6.2

将 $- 20$ 和 $6$ 相加。

$- 14$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 14$ 和给定点 $(- 2, - 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 3) = - 14 \cdot (x - (- 2))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 14 \cdot (x + 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y + 3 = 0 + 0 - 14 \cdot (x + 2)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y + 3 = - 14 x - 14 \cdot 2$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 14$ 乘以 $2$ 。

$y + 3 = - 14 x - 28$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = - 14 x - 28 - 3$

解题步骤 3.3.2.2

从 $- 28$ 中减去 $3$ 。

$y = - 14 x - 31$

解题步骤 4

微积分学 示例

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