微积分学示例

$y = 3 x^{2} - 9 x + 7$ , $(2, 1)$

解题步骤 1

求函数的导数。要求与线相切的方程的斜率，请对所需值 $x$ 求导数。

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 9 x + 7)$

解题步骤 2

根据加法法则， $3 x^{2} - 9 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 4.3

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$6 x - 9 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 5

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x - 9 + 0$

解题步骤 5.2

将 $6 x - 9$ 和 $0$ 相加。

$6 x - 9$

解题步骤 6

$y$ 的方程的导数也可以表示为 $f' (x)$ 。

$f' (x) = 6 x - 9$

解题步骤 7

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 6 (2) - 9$

解题步骤 8

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 12 - 9$

解题步骤 9

从 $12$ 中减去 $9$ 。

$f' (2) = 3$

解题步骤 10

点 $(2, 1)$ 处的导数为 $3$ 。

$3$

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