微积分学示例

$3 (\cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) (\frac{π}{8})$

解题步骤 1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

$\cos (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.5.2

在公分母上合并分子。

$3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.5.6

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.1.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3

$\cos (\frac{3 π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $\frac{3 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4

化简 $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.4

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.8

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + 0) \frac{π}{8}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$3 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \frac{π}{8}$

解题步骤 4

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2} \cdot \frac{π}{8}$

解题步骤 5

乘以 $\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2} \cdot \frac{π}{8}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$ 乘以 $\frac{π}{8}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{2 \cdot 8}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16}$

小数形式：

$2.37229878 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例