微积分学示例

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 4$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $x^{2} + 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

从 $2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

从 $- (x^{2}) - (- 2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.9

从 $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.10

将 $- (x^{2} - 2 x - 4)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 2 x - 4)$ 。

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.11

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ 。

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.3.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.3.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.3.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1 + \sqrt{5}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1 + \sqrt{5}$ 替换 $x$ 。

$\frac{(1 + \sqrt{5}) - 1}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + \sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $0$ 和 $\sqrt{5}$ 相加。

$\frac{\sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 ${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{5}}{1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.2.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.2.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3.1.2

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3.1.3

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3.1.5

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3.1.6

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5 + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{\sqrt{5}}{6 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.3.3

将 $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{5}$ 相加。

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{(10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})}$

解题步骤 4.1.2.5

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{100 - 20 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

化简。

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{80}$

解题步骤 4.1.2.7

约去 $10 - 2 \sqrt{5}$ 和 $80$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.7.1

从 $\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{80}$

解题步骤 4.1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.7.2.1

从 $80$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 (40)}$

解题步骤 4.1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

解题步骤 4.1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{40}$

解题步骤 4.1.2.8

运用分配律。

$\frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

解题步骤 4.1.2.9

将 $5$ 移到 $\sqrt{5}$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

解题步骤 4.1.2.10

乘以 $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.1.2.10.1

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{40}$

解题步骤 4.1.2.10.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{40}$

解题步骤 4.1.2.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{40}$

解题步骤 4.1.2.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{40}$

解题步骤 4.1.2.11

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.11.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.1.2.11.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{40}$

解题步骤 4.1.2.11.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{40}$

解题步骤 4.1.2.11.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

解题步骤 4.1.2.11.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.11.1.4.1

约去公因数。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

解题步骤 4.1.2.11.1.4.2

重写表达式。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{1}}{40}$

解题步骤 4.1.2.11.1.5

计算指数。

$\frac{5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{40}$

解题步骤 4.1.2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 \sqrt{5} - 5}{40}$

解题步骤 4.1.2.12

约去 $5 \sqrt{5} - 5$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.12.1

从 $5 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (\sqrt{5}) - 5}{40}$

解题步骤 4.1.2.12.2

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)}{40}$

解题步骤 4.1.2.12.3

从 $5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{40}$

解题步骤 4.1.2.12.4

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.12.4.1

从 $40$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 (8)}$

解题步骤 4.1.2.12.4.2

约去公因数。

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 \cdot 8}$

解题步骤 4.1.2.12.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$

解题步骤 4.2

在 $x = 1 - \sqrt{5}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $1 - \sqrt{5}$ 替换 $x$ 。

$\frac{(1 - \sqrt{5}) - 1}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 - \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

解题步骤 4.2.2.1.2

从 $0$ 中减去 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 ${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.2.2

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.2.3

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.2

将 $- \sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.4

乘以 $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.4.2

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.4.4

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.5

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.1.5.5

计算指数。

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5 + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.3.3

从 $- \sqrt{5}$ 中减去 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5} + 4}$

解题步骤 4.2.2.2.4

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

解题步骤 4.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ 。

$- (\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}})$

解题步骤 4.2.2.5

化简项。

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解题步骤 4.2.2.5.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ 。

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{(10 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5})}$

解题步骤 4.2.2.5.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{100 + 20 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.5.3

化简。

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{80}$

解题步骤 4.2.2.5.4

约去 $10 + 2 \sqrt{5}$ 和 $80$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.5.4.1

从 $\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{80}$

解题步骤 4.2.2.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.5.4.2.1

从 $80$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 (40)}$

解题步骤 4.2.2.5.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

解题步骤 4.2.2.5.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{5} (5 + \sqrt{5})}{40}$

解题步骤 4.2.2.5.5

运用分配律。

$- \frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

解题步骤 4.2.2.5.6

将 $5$ 移到 $\sqrt{5}$ 的左侧。

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

解题步骤 4.2.2.5.7

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{40}$

解题步骤 4.2.2.6

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.6.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{40}$

解题步骤 4.2.2.6.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{40}$

解题步骤 4.2.2.6.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{5 \sqrt{5} + 5}{40}$

解题步骤 4.2.2.7

约去 $5 \sqrt{5} + 5$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.7.1

从 $5 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5}{40}$

解题步骤 4.2.2.7.2

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (1)}{40}$

解题步骤 4.2.2.7.3

从 $5 (\sqrt{5}) + 5 (1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{40}$

解题步骤 4.2.2.7.4

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.7.4.1

从 $40$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 (8)}$

解题步骤 4.2.2.7.4.2

约去公因数。

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 \cdot 8}$

解题步骤 4.2.2.7.4.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(1 + \sqrt{5}, \frac{\sqrt{5} - 1}{8}), (1 - \sqrt{5}, - \frac{\sqrt{5} + 1}{8})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例