微积分学示例

$f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.3.6

将 $4$ 移到 ${(x - 1)}^{3}$ 的左侧。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

解题步骤 1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

从 $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1.1

从 $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ 中分解出因数 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

解题步骤 1.1.4.1.2

从 $4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.1.3

从 $x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ 中分解出因数 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.3

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.4.1

运用分配律。

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.4.2

运用分配律。

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.4.3

运用分配律。

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.5

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.5.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.5.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.5.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.5.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.6

运用分配律。

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.7.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.7.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.7.1.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.7.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.8

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.8.1

移动 $x$ 。

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.8.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.1.4.9

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.9.1

运用分配律。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

解题步骤 1.1.4.9.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

解题步骤 1.1.4.10

将 $3 x$ 和 $4 x$ 相加。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

解题步骤 1.1.4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ 。

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.12.2.1

移动 $x$ 。

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.2.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.3

将 $- 4$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.4

使用乘法的交换性质重写。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.12.5.1

移动 $x$ 。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.12.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.5.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.6

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.7

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.8

使用乘法的交换性质重写。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.9

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.12.9.1

移动 $x$ 。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.9.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.12.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.9.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.1.4.12.10

将 $- 4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1.1.4.13

从 $- 4 x^{5}$ 中减去 $14 x^{5}$ 。

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1.1.4.14

将 $8 x^{4}$ 和 $7 x^{4}$ 相加。

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ 。

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

从 $7 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (7 x^{3}) - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 18 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $15 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) - 4 x^{3} = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

解题步骤 2.2.1.6

从 $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x)$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

解题步骤 2.2.1.7

从 $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4) = 0$

解题步骤 2.2.2

使用有理根检验法因式分解 $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 7$

解题步骤 2.2.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}$

解题步骤 2.2.2.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$7 \cdot 1^{3} - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

解题步骤 2.2.2.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$7 \cdot 1 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

解题步骤 2.2.2.3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

解题步骤 2.2.2.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 - 18 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 4$

解题步骤 2.2.2.3.5

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$7 - 18 + 15 \cdot 1 - 4$

解题步骤 2.2.2.3.6

从 $7$ 中减去 $18$ 。

$- 11 + 15 \cdot 1 - 4$

解题步骤 2.2.2.3.7

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$- 11 + 15 - 4$

解题步骤 2.2.2.3.8

将 $- 11$ 和 $15$ 相加。

$4 - 4$

解题步骤 2.2.2.3.9

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0$

解题步骤 2.2.2.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4}{x - 1}$

解题步骤 2.2.2.5

用 $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ 除以 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$18 x^{2}$

$15 x$

$4$

解题步骤 2.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $7 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$

解题步骤 2.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{3} - 7 x^{2}$ 中的所有符号

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

解题步骤 2.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 11 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

解题步骤 2.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

解题步骤 2.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 11 x^{2} + 11 x$ 中的所有符号

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 2.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$

解题步骤 2.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

解题步骤 2.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

解题步骤 2.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

解题步骤 2.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x - 4$ 中的所有符号

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

解题步骤 2.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

解题步骤 2.2.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$7 x^{2} - 11 x + 4$

解题步骤 2.2.2.6

将 $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ 书写为因数的集合。

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

解题步骤 2.2.3

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 7 \cdot 4 = 28$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.1.1.1

从 $- 11 x$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2

把 $- 11$ 重写为 $- 4$ 加 $- 7$

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} + (- 4 - 7) x + 4)) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.3

运用分配律。

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 4 x - 7 x + 4)) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x^{3} ((x - 1) ((7 x^{2} - 4 x) - 7 x + 4)) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{3} ((x - 1) (x (7 x - 4) - (7 x - 4))) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $7 x - 4$ 来因式分解多项式。

$x^{3} ((x - 1) ((7 x - 4) (x - 1))) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.2

去掉多余的括号。

$x^{3} ((x - 1) (7 x - 4) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

去掉多余的括号。

$x^{3} (x - 1) (7 x - 4) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.4

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

解题步骤 2.2.4.2

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

解题步骤 2.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} {(x - 1)}^{1 + 1} (7 x - 4) = 0$

解题步骤 2.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$7 x - 4 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x - 1)}^{2} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.6

将 $7 x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $7 x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$7 x - 4 = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $x$ 的 $7 x - 4 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$7 x = 4$

解题步骤 2.6.2.2

将 $7 x = 4$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.2.1

将 $7 x = 4$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

解题步骤 2.6.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

解题步骤 2.6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{7}$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1, \frac{4}{7}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{4} {(x - 1)}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{4} {((0) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 {((0) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$0 {(- 1)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.2.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{4} {((1) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$1 {((1) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.2.2.2

将 ${((1) - 1)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${((1) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.2.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0^{3}$

解题步骤 4.2.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{4}{7}$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{4}{7}$ 替换 $x$ 。

${(\frac{4}{7})}^{4} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

对 $\frac{4}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{4^{4}}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.3.2.2

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{256}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.3.2.3

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{256}{2401} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

解题步骤 4.3.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 7}{7})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.7.2

从 $4$ 中减去 $7$ 。

$\frac{256}{2401} {(\frac{- 3}{7})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{256}{2401} {(- \frac{3}{7})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.9.1

对 $- \frac{3}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3})$

解题步骤 4.3.2.9.2

对 $\frac{3}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}})$

解题步骤 4.3.2.10

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{256}{2401} (- \frac{3^{3}}{7^{3}})$

解题步骤 4.3.2.11

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{7^{3}})$

解题步骤 4.3.2.12

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$

解题步骤 4.3.2.13

乘以 $\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.13.1

将 $\frac{256}{2401}$ 乘以 $\frac{27}{343}$ 。

$- \frac{256 \cdot 27}{2401 \cdot 343}$

解题步骤 4.3.2.13.2

将 $256$ 乘以 $27$ 。

$- \frac{6912}{2401 \cdot 343}$

解题步骤 4.3.2.13.3

将 $2401$ 乘以 $343$ 。

$- \frac{6912}{823543}$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, 0), (1, 0), (\frac{4}{7}, - \frac{6912}{823543})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例