微积分学示例

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{108}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $108$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{108}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 4 x + 108 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$f' (x) = 4 x - 108 x^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = 4 x - 108 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.4.2.1

组合 $- 108$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f' (x) = 4 x + \frac{- 108}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 4 x - \frac{108}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x - \frac{108}{x^{2}}$ 。

$4 x - \frac{108}{x^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{2}, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 2.3

将 $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$4 x \cdot x^{2} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 (x^{2} x) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{2 + 1} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{3} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

将 $- \frac{108}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$4 x^{3} - 108 = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 108 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

在等式两边都加上 $108$ 。

$4 x^{3} = 108$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $108$ 。

$4 x^{3} - 108 = 0$

解题步骤 2.4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.3.1

从 $4 x^{3} - 108$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) - 108 = 0$

解题步骤 2.4.3.1.2

从 $- 108$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 x^{3} + 4 \cdot - 27 = 0$

解题步骤 2.4.3.1.3

从 $4 x^{3} + 4 \cdot - 27$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 27) = 0$

解题步骤 2.4.3.2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

解题步骤 2.4.3.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.4.3.4

因数。

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解题步骤 2.4.3.4.1

化简。

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解题步骤 2.4.3.4.1.1

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.4.3.4.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

解题步骤 2.4.3.4.2

去掉多余的括号。

$4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

解题步骤 2.4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

解题步骤 2.4.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.4.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.4.6

将 $x^{2} + 3 x + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $x^{2} + 3 x + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

解题步骤 2.4.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 9$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.4.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.4.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.4.5

从 $3 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.4.6

从 $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.3

从 $9$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.5.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.5.5

从 $- 3 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.5.6

从 $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4.7

最终解为使 $4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{108}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$2 {(3)}^{2} + \frac{108}{3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \cdot 9 + \frac{108}{3}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 + \frac{108}{3}$

解题步骤 4.1.2.1.3

用 $108$ 除以 $3$ 。

$18 + 36$

解题步骤 4.1.2.2

将 $18$ 和 $36$ 相加。

$54$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$2 {(0)}^{2} + \frac{108}{0}$

解题步骤 4.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(3, 54)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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