微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$6 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} - 20 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} - 20 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 20 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x^{2} - 20 x - 6 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $6 x^{2} - 20 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 6 x^{2} - 20 x - 6$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{2} - 20 x - 6$ 。

$6 x^{2} - 20 x - 6$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} - 20 x - 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} - 20 x - 6 = 0$

解题步骤 2.2

从 $6 x^{2} - 20 x - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2}) - 20 x - 6 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 20 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) - 6 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- 3) = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 3) = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

将 $2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $3 x^{2} - 10 x - 3$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$3 x^{2} - 10 x - 3 = 0$

解题步骤 2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5

将 $a = 3$ 、 $b = - 10$ 和 $c = - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.3

将 $100$ 和 $36$ 相加。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $136$ 重写为 $2^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $136$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.3

将 $100$ 和 $36$ 相加。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $136$ 重写为 $2^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从 $136$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.3

将 $100$ 和 $36$ 相加。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $136$ 重写为 $2^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 2.8.1.4.1

从 $136$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

解题步骤 2.8.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

解题步骤 2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$

解题步骤 2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}, \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ 替换 $x$ 。

$2 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

使用二项式定理。

$2 \frac{5^{3} + 3 \cdot 5^{2} \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.4.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \frac{125 + 3 \cdot 5^{2} \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \frac{125 + 3 \cdot 25 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.5

将 ${\sqrt{34}}^{2}$ 重写为 $34$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{34}$ 重写成 $34^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.4.5.4.1

约去公因数。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.5.4.2

重写表达式。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{1} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.5.5

计算指数。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34 + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.6

将 $15$ 乘以 $34$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.7

将 ${\sqrt{34}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{34^{3}}$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{34^{3}}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.8

对 $34$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{39304}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.9

将 $39304$ 重写为 $34^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.4.9.1

从 $39304$ 中分解出因数 $1156$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{1156 (34)}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.9.2

将 $1156$ 重写为 $34^{2}$ 。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{34^{2} \cdot 34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.10

从根式下提出各项。

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $125$ 和 $510$ 相加。

$2 \frac{635 + 75 \sqrt{34} + 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $75 \sqrt{34}$ 和 $34 \sqrt{34}$ 相加。

$2 \frac{635 + 109 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.7

组合 $2$ 和 $\frac{635 + 109 \sqrt{34}}{27}$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.8

对 $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{2}}{3^{2}} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.10

将 ${(5 + \sqrt{34})}^{2}$ 重写为 $(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.11.1

运用分配律。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 (5 + \sqrt{34}) + \sqrt{34} (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.11.2

运用分配律。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.11.3

运用分配律。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \cdot 5 + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.12.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \cdot 5 + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.1.2

将 $5$ 移到 $\sqrt{34}$ 的左侧。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \cdot \sqrt{34} + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34 \cdot 34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.1.4

将 $34$ 乘以 $34$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{1156}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.1.5

将 $1156$ 重写为 $34^{2}$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34^{2}}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + 34}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.2

将 $25$ 和 $34$ 相加。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.3

将 $5 \sqrt{34}$ 和 $5 \sqrt{34}$ 相加。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 + 10 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.13

组合 $- 10$ 和 $\frac{59 + 10 \sqrt{34}}{9}$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} + \frac{- 10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.15

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.15.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} + 3 (- 2) \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.15.2

约去公因数。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} + 3 \cdot - 2 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.15.3

重写表达式。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 2 (5 + \sqrt{34}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.16

运用分配律。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 2 \cdot 5 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.17

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.2

要将 $- \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $\frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.5.1

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 635 + 2 (109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $2$ 乘以 $635$ 。

$\frac{1270 + 2 (109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.3

将 $109$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.4

运用分配律。

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 10 \cdot 59 - 10 (10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.5

将 $- 10$ 乘以 $59$ 。

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 590 - 10 (10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.6

将 $10$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 590 - 100 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.7

运用分配律。

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 590 \cdot 3 - 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.8

将 $- 590$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 1770 - 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.9

将 $3$ 乘以 $- 100$ 。

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 1770 - 300 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.10

从 $1270$ 中减去 $1770$ 。

$\frac{- 500 + 218 \sqrt{34} - 300 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.5.11

从 $218 \sqrt{34}$ 中减去 $300 \sqrt{34}$ 。

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.6

要将 $- 10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} - 10 \cdot \frac{27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.7

组合 $- 10$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 10 \cdot 27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.8.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34} - 10 \cdot 27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $- 10$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34} - 270}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.8.3

从 $- 500$ 中减去 $270$ 。

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.1.2.9

要将 $- 2 \sqrt{34}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} - 2 \sqrt{34} \cdot \frac{27}{27} + 1$

解题步骤 4.1.2.10

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.10.1

组合 $- 2 \sqrt{34}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

解题步骤 4.1.2.10.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34} - 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

解题步骤 4.1.2.11

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.11.1

将 $27$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34} - 54 \sqrt{34}}{27} + 1$

解题步骤 4.1.2.11.2

从 $- 82 \sqrt{34}$ 中减去 $54 \sqrt{34}$ 。

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34}}{27} + 1$

解题步骤 4.1.2.12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.2.12.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34}}{27} + \frac{27}{27}$

解题步骤 4.1.2.12.2

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.12.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34} + 27}{27}$

解题步骤 4.1.2.12.2.2

将 $- 770$ 和 $27$ 相加。

$\frac{- 743 - 136 \sqrt{34}}{27}$

解题步骤 4.1.2.12.3

将 $- 743$ 重写为 $- 1 (743)$ 。

$\frac{- 1 (743) - 136 \sqrt{34}}{27}$

解题步骤 4.1.2.12.4

从 $- 136 \sqrt{34}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (743) - (136 \sqrt{34})}{27}$

解题步骤 4.1.2.12.5

从 $- 1 (743) - (136 \sqrt{34})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (743 + 136 \sqrt{34})}{27}$

解题步骤 4.1.2.12.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{743 + 136 \sqrt{34}}{27}$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ 替换 $x$ 。

$2 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.3

使用二项式定理。

$2 \frac{5^{3} + 3 \cdot 5^{2} (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.4.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \frac{125 + 3 \cdot 5^{2} (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \frac{125 + 3 \cdot 25 (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$2 \frac{125 + 75 (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $75$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.5

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.6

对 $- \sqrt{34}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{34}}^{2}) + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 (1 {\sqrt{34}}^{2}) + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.8

将 ${\sqrt{34}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {\sqrt{34}}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.9

将 ${\sqrt{34}}^{2}$ 重写为 $34$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.4.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{34}$ 重写成 $34^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.4.9.4.1

约去公因数。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.9.4.2

重写表达式。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{1} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.9.5

计算指数。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34 + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.10

将 $15$ 乘以 $34$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.11

对 $- \sqrt{34}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.13

将 ${\sqrt{34}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{34^{3}}$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{34^{3}}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.14

对 $34$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{39304}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.15

将 $39304$ 重写为 $34^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.4.15.1

从 $39304$ 中分解出因数 $1156$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{1156 (34)}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.15.2

将 $1156$ 重写为 $34^{2}$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{34^{2} \cdot 34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.16

从根式下提出各项。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - (34 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4.17

将 $34$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $125$ 和 $510$ 相加。

$2 \frac{635 - 75 \sqrt{34} - 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.6

从 $- 75 \sqrt{34}$ 中减去 $34 \sqrt{34}$ 。

$2 \frac{635 - 109 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.7

组合 $2$ 和 $\frac{635 - 109 \sqrt{34}}{27}$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.8

对 $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{2}}{3^{2}} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.10

将 ${(5 - \sqrt{34})}^{2}$ 重写为 $(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.11.1

运用分配律。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 (5 - \sqrt{34}) - \sqrt{34} (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.11.2

运用分配律。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.11.3

运用分配律。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.12.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.4

乘以 $- \sqrt{34} (- \sqrt{34})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.12.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 1 \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.4.2

将 $\sqrt{34}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.4.3

对 $\sqrt{34}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.4.4

对 $\sqrt{34}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1 + 1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.5

将 ${\sqrt{34}}^{2}$ 重写为 $34$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.12.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{34}$ 重写成 $34^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{2}{2}}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.12.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{2}{2}}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.1.5.5

计算指数。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.2

将 $25$ 和 $34$ 相加。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.12.3

从 $- 5 \sqrt{34}$ 中减去 $5 \sqrt{34}$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 - 10 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.13

组合 $- 10$ 和 $\frac{59 - 10 \sqrt{34}}{9}$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} + \frac{- 10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.15

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.15.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} + 3 (- 2) \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.15.2

约去公因数。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} + 3 \cdot - 2 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.15.3

重写表达式。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 2 (5 - \sqrt{34}) + 1$

解题步骤 4.2.2.1.16

运用分配律。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 2 \cdot 5 - 2 (- \sqrt{34}) + 1$

解题步骤 4.2.2.1.17

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 10 - 2 (- \sqrt{34}) + 1$

解题步骤 4.2.2.1.18

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $- \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将 $\frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.5.1

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 635 + 2 (- 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.2

将 $2$ 乘以 $635$ 。

$\frac{1270 + 2 (- 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.3

将 $- 109$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.4

运用分配律。

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 10 \cdot 59 - 10 (- 10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.5

将 $- 10$ 乘以 $59$ 。

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 590 - 10 (- 10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.6

将 $- 10$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 590 + 100 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.7

运用分配律。

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 590 \cdot 3 + 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.8

将 $- 590$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 1770 + 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.9

将 $3$ 乘以 $100$ 。

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 1770 + 300 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.10

从 $1270$ 中减去 $1770$ 。

$\frac{- 500 - 218 \sqrt{34} + 300 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.5.11

将 $- 218 \sqrt{34}$ 和 $300 \sqrt{34}$ 相加。

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.6

要将 $- 10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} - 10 \cdot \frac{27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.7

组合 $- 10$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 10 \cdot 27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.8.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34} - 10 \cdot 27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.8.2

将 $- 10$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34} - 270}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.8.3

从 $- 500$ 中减去 $270$ 。

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

解题步骤 4.2.2.9

要将 $2 \sqrt{34}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + 2 \sqrt{34} \cdot \frac{27}{27} + 1$

解题步骤 4.2.2.10

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.10.1

组合 $2 \sqrt{34}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

解题步骤 4.2.2.10.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34} + 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

解题步骤 4.2.2.11

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.11.1

将 $27$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34} + 54 \sqrt{34}}{27} + 1$

解题步骤 4.2.2.11.2

将 $82 \sqrt{34}$ 和 $54 \sqrt{34}$ 相加。

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34}}{27} + 1$

解题步骤 4.2.2.12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.2.2.12.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34}}{27} + \frac{27}{27}$

解题步骤 4.2.2.12.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.12.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34} + 27}{27}$

解题步骤 4.2.2.12.2.2

将 $- 770$ 和 $27$ 相加。

$\frac{- 743 + 136 \sqrt{34}}{27}$

解题步骤 4.2.2.12.3

将 $- 743$ 重写为 $- 1 (743)$ 。

$\frac{- 1 (743) + 136 \sqrt{34}}{27}$

解题步骤 4.2.2.12.4

从 $136 \sqrt{34}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (743) - (- 136 \sqrt{34})}{27}$

解题步骤 4.2.2.12.5

从 $- 1 (743) - (- 136 \sqrt{34})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (743 - 136 \sqrt{34})}{27}$

解题步骤 4.2.2.12.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{743 - 136 \sqrt{34}}{27}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{5 + \sqrt{34}}{3}, - \frac{743 + 136 \sqrt{34}}{27}), (\frac{5 - \sqrt{34}}{3}, - \frac{743 - 136 \sqrt{34}}{27})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例