微积分学示例

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $12 x^{2} + 6 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{2} + 6 x - 6$ 。

$12 x^{2} + 6 x - 6$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{2} + 6 x - 6$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

乘以 $1$ 。

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.3

运用分配律。

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{1}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{1}{2}$ 替换 $x$ 。

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.2

约去公因数。

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.8

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.9.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.9.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.9.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

解题步骤 4.1.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

解题步骤 4.1.2.2.5

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

解题步骤 4.1.2.2.6

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

解题步骤 4.1.2.2.7

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.8

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

解题步骤 4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

解题步骤 4.1.2.4.3

从 $5$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 7 + 4}{4}$

解题步骤 4.1.2.4.4

将 $- 7$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 3}{4}$

解题步骤 4.1.2.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 + 3 + 6 + 1$

解题步骤 4.2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$- 1 + 6 + 1$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$5 + 1$

解题步骤 4.2.2.2.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$6$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

解题步骤 5

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