微积分学示例

$f (x) = 5 x^{2} + 4 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $5 x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 x + 4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 10 x + 4$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $10 x + 4$ 。

$10 x + 4$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $10 x + 4 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$10 x + 4 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$10 x = - 4$

解题步骤 2.3

将 $10 x = - 4$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $10 x = - 4$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

约去 $10$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{10}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

约去 $- 4$ 和 $10$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 2)}{10}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 2.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{5}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $5 x^{2} + 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = - \frac{2}{5}$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $- \frac{2}{5}$ 替换 $x$ 。

$5 {(- \frac{2}{5})}^{2} + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1.1

对 $- \frac{2}{5}$ 运用乘积法则。

$5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.1.2

对 $\frac{2}{5}$ 运用乘积法则。

$5 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{2^{2}}{5^{2}} + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 \frac{4}{5^{2}} + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 (\frac{4}{25}) + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.6

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.6.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 \frac{4}{5 (5)} + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.6.2

约去公因数。

$5 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.6.3

重写表达式。

$\frac{4}{5} + 4 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.7

乘以 $4 (- \frac{2}{5})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5})$

解题步骤 4.1.2.1.7.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5}$

解题步骤 4.1.2.1.7.3

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{5} + \frac{- 8}{5}$

解题步骤 4.1.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{5} - \frac{8}{5}$

解题步骤 4.1.2.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 8}{5}$

解题步骤 4.1.2.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.2.1

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 4}{5}$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{5}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(- \frac{2}{5}, - \frac{4}{5})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例