微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 1.1.3

将 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 1.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去公因数。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 1.1.3.2.2

重写表达式。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.4

化简。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.5.2

将 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.6.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.9

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.11

合并分数。

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解题步骤 1.1.11.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)}{x - 1})$

解题步骤 1.1.12

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

解题步骤 1.1.14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x - 1})$

解题步骤 1.1.15

化简表达式。

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解题步骤 1.1.15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1})$

解题步骤 1.1.15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.16

要将 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.17

组合 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.18

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.19

通过指数相加将 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.19.1

移动 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.19.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.19.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.19.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.20

化简 ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.21

将 $2$ 移到 $x - 1$ 的左侧。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

解题步骤 1.1.22

将 $\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ 重写为乘积形式。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1})$

解题步骤 1.1.23

将 $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)})$

解题步骤 1.1.24

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 ((x - 1) {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 1.1.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.26

化简表达式。

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解题步骤 1.1.26.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.26.2

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

解题步骤 1.1.26.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 1.1.27

组合 $2$ 和 $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.28

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.29

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.30

化简。

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解题步骤 1.1.30.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.30.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.30.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.30.2.2

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{{(x - 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 ${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

${(x - 1)}^{3} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(x - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 1)}^{3} < 0$

解题步骤 3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.5.2

化简方程。

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解题步骤 3.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1.1

从根式下提出各项。

$x - 1 < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x - 1 < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x - 1 < 0$

解题步骤 3.5.3

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x < 1$

解题步骤 3.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 (2)}{\sqrt{(2) - 1}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{\sqrt{2 - 1}}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{4}{\sqrt{1}}$

解题步骤 4.1.2.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{4}{1}$

解题步骤 4.1.2.3

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 (1)}{\sqrt{(1) - 1}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

去掉圆括号。

$\frac{2 (1)}{\sqrt{1 - 1}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0}}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0^{2}}}$

解题步骤 4.2.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 (1)}{0}$

解题步骤 4.2.2.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(2, 4)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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