微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 8 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.5

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} - 8 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = x^{3} - 16 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{3} - 16 x$ 。

$x^{3} - 16 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{3} - 16 x = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{3} - 16 x = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $x^{3} - 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} - 16) = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

去掉多余的括号。

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.6

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x (x + 4) (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 4, 4$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 0 - 8 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$0 - 8 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 8 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = - 4$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

代入 $- 4$ 替换 $x$ 。

$\frac{1}{4} \cdot {(- 4)}^{4} - 8 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 256 - 8 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.2.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4} \cdot (4 (64)) - 8 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 64) - 8 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2.3

重写表达式。

$64 - 8 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 8 \cdot 16$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 8$ 乘以 $16$ 。

$64 - 128$

解题步骤 4.2.2.2

从 $64$ 中减去 $128$ 。

$- 64$

解题步骤 4.3

在 $x = 4$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$\frac{1}{4} \cdot {(4)}^{4} - 8 {(4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.1.1

从 ${(4)}^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4^{3}) - 8 {(4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4^{3}) - 8 {(4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.1.3

重写表达式。

$4^{3} - 8 {(4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - 8 {(4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 8 \cdot 16$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $- 8$ 乘以 $16$ 。

$64 - 128$

解题步骤 4.3.2.2

从 $64$ 中减去 $128$ 。

$- 64$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, 0), (- 4, - 64), (4, - 64)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例