微积分学示例

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.6

合并分数。

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解题步骤 1.1.6.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.6.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.7

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.1.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

解题步骤 1.1.10

合并分数。

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解题步骤 1.1.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

解题步骤 1.1.10.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

解题步骤 1.1.10.3

组合 $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 x = 0$

解题步骤 2.3

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

对 $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3

将 ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.1.3

因数。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

解题步骤 3.3.3.1.3.2

去掉多余的括号。

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.3

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.3.3.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.3.3.4

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.4.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.4.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.3.3.4.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.3.3.5

最终解为使 $27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 3.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 1, x = 1$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.1

约去公因数。

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.1.2.2.2

重写表达式。

${(- 1)}^{1}$

解题步骤 4.1.2.3

计算指数。

$- 1$

解题步骤 4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去公因数。

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.2.2.2.2

重写表达式。

$0^{1}$

解题步骤 4.2.2.3

计算指数。

$0$

解题步骤 4.3

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1.1

一的任意次幂都为一。

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

约去公因数。

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.3.2.2.2

重写表达式。

$0^{1}$

解题步骤 4.3.2.3

计算指数。

$0$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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