微积分学示例

$f (x) = {(x - 2)}^{- 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - {(x - 2)}^{- 2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- {(x - 2)}^{- 2}$ 。

$- {(x - 2)}^{- 2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- {(x - 2)}^{- 2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- {(x - 2)}^{- 2} = 0$

解题步骤 2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.3

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.4

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

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