微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $x^{2} - 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 。

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$- x^{2} - 4 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$- x^{2} = 4$

解题步骤 2.3.2

将 $- x^{2} = 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $- x^{2} = 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 2.3.4

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 2.3.4.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.3.4.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 2.3.4.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 3.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

解题步骤 3.2.1.3

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2.3

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.2.3.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.2.4

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.2.4.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.2.5

最终解为使 ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

解题步骤 3.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x}{x^{2} - 4}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 4}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 2}{4 - 4}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 2}{0}$

解题步骤 4.1.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 4}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{4 - 4}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{2}{0}$

解题步骤 4.2.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

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