微积分学示例

$f (x) = \sqrt[5]{x - 5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x - 5}$ 重写成 ${(x - 5)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{5}}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 5$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.7.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ 。

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.8

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.10

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.11

化简表达式。

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解题步骤 1.1.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.11.2

将 $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ 。

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $5$ 次幂。

${(5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}$ 重写成 ${(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ 。

${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

对 $5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ 运用乘积法则。

$5^{5} {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$3125 {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3

将 ${({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0^{5}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ 中的每一项除以 $3125$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ 中的每一项都除以 $3125$ 。

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

解题步骤 3.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

约去 $3125$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.2

用 ${(x - 5)}^{4}$ 除以 $1$ 。

${(x - 5)}^{4} = \frac{0}{3125}$

解题步骤 3.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $3125$ 。

${(x - 5)}^{4} = 0$

解题步骤 3.3.3.2

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 3.3.3.3

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt[5]{x - 5}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 5$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[5]{(5) - 5}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\sqrt[5]{0}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$\sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 4.1.2.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$0$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(5, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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