微积分学示例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ 重写成 ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{2} - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

解题步骤 1.1.8

根据加法法则， $x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.1.10

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.12

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

解题步骤 1.1.13

化简。

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解题步骤 1.1.13.1

重新排序 $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ 的因式。

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.13.2

将 $2 x - 2$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.13.3

从 $2 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.13.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.13.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.13.3.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 (x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 (x - 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $2 (x - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$x - 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

对 $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3

将 ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.1.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.1.2

因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

对 $x (x - 2)$ 运用乘积法则。

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

去掉多余的括号。

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.3

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.3.3.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.3.3.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.3.3.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.3.3.4

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.4.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.4.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.3.3.4.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.3.3.5

最终解为使 $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 3.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = 0, x = 2$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt[3]{1 - 2}$

解题步骤 4.1.2.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\sqrt[3]{- 1}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 4.1.2.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$- 1$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\sqrt[3]{0 + 0}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt[3]{0}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 4.2.2.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$0$

解题步骤 4.3

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt[3]{4 - 4}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\sqrt[3]{0}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$0$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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