微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.2.10

组合 $- 4$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.12

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.13

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.1.2.13.2

约去公因数。

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.13.3

重写表达式。

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.14

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3

将 $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

将 $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} = 2$

解题步骤 2.4.2

将方程两边同时进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.3

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简 ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

对 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.1.2.2.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.2.2

重写表达式。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.1.2.3.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.3.2

重写表达式。

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.3

化简。

$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.4

将 $2^{\frac{2}{3}} x$ 中的因式重新排序。

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.4.4

将 $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ 中的每一项除以 $2^{\frac{2}{3}}$ 并化简。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ 中的每一项都除以 $2^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.4.2.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.4.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.4.3.1

约去公因数。

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.4.3.2

重写表达式。

$x = 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{2}{\sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 3.5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{2} - 4 \sqrt{1}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 - 4 \sqrt{1}$

解题步骤 4.1.2.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1 - 4 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$1 - 4$

解题步骤 4.1.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 3$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} - 4 \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 4 \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$0 - 4 \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0 - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(1, - 3), (0, 0)$

解题步骤 5

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