微积分学示例

$x^{6} e^{x} - 5$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{6} e^{x} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 0$

解题步骤 1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

将 $x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$ 和 $0$ 相加。

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

解题步骤 1.1.4.2

重新排序项。

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

解题步骤 1.1.4.3

将 $e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ 。

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$

解题步骤 2.2

从 $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{5} e^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $x^{6} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{5} e^{x}$ 。

$x^{5} e^{x} (x) + 6 x^{5} e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $6 x^{5} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{5} e^{x}$ 。

$x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6)$ 中分解出因数 $x^{5} e^{x}$ 。

$x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{5} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 6 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{5}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x^{5}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{5} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[5]{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.5.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.6

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = - 6$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 6$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{6} e^{x} - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{6} e^{0} - 5$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{0} - 5$

解题步骤 4.1.2.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 - 5$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 - 5$

解题步骤 4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5$

解题步骤 4.2

在 $x = - 6$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

代入 $- 6$ 替换 $x$ 。

${(- 6)}^{6} e^{- 6} - 5$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

对 $- 6$ 进行 $6$ 次方运算。

$46656 e^{- 6} - 5$

解题步骤 4.2.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$46656 \frac{1}{e^{6}} - 5$

解题步骤 4.2.2.3

组合 $46656$ 和 $\frac{1}{e^{6}}$ 。

$\frac{46656}{e^{6}} - 5$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, - 5), (- 6, \frac{46656}{e^{6}} - 5)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例