微积分学示例

$x^{2} e^{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

重新排序项。

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

解题步骤 1.1.4.2

将 $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

解题步骤 2.2

从 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 中分解出因数 $x e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $x e^{x}$ 。

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $2 x e^{x}$ 中分解出因数 $x e^{x}$ 。

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ 中分解出因数 $x e^{x}$ 。

$x e^{x} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.5.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.6

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x e^{x} (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} e^{x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} e^{0}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{0}$

解题步骤 4.1.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

${(- 2)}^{2} e^{- 2}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 e^{- 2}$

解题步骤 4.2.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 4.2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$\frac{4}{e^{2}}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (- 2, \frac{4}{e^{2}})$

解题步骤 5

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