微积分学示例

$x^{2} e^{8 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{8 x}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $8$ 移到 $e^{8 x}$ 的左侧。

$x^{2} (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (8 e^{8 x}) + e^{8 x} (2 x)$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

重新排序项。

$8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$

解题步骤 1.1.4.2

将 $8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = 8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ 。

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$

解题步骤 2.2

从 $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ 中分解出因数 $2 x e^{8 x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $8 x^{2} e^{8 x}$ 中分解出因数 $2 x e^{8 x}$ 。

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $2 x e^{8 x}$ 中分解出因数 $2 x e^{8 x}$ 。

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1)$ 中分解出因数 $2 x e^{8 x}$ 。

$2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$e^{8 x} = 0$

$4 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $e^{8 x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $e^{8 x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{8 x} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $e^{8 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{8 x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.5.2.3

$e^{8 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.6

将 $4 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $4 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 x + 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $x$ 的 $4 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4 x = - 1$

解题步骤 2.6.2.2

将 $4 x = - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.6.2.2.1

将 $4 x = - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 2.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 2.6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 2.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{4}$

解题步骤 2.7

最终解为使 $2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{1}{4}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} e^{8 x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} e^{8 (0)}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{8 (0)}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{0}$

解题步骤 4.1.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = - \frac{1}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- \frac{1}{4}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- \frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 4.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 4.2.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 4.2.2.2.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{16} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 4.2.2.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{16} e^{8 (\frac{- 1}{4})}$

解题步骤 4.2.2.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{16} e^{4 (2) \frac{- 1}{4}}$

解题步骤 4.2.2.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{16} e^{4 \cdot 2 \frac{- 1}{4}}$

解题步骤 4.2.2.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{16} e^{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{16} e^{- 2}$

解题步骤 4.2.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 4.2.2.6

合并。

$\frac{1 \cdot 1}{16 e^{2}}$

解题步骤 4.2.2.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{16 e^{2}}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (- \frac{1}{4}, \frac{1}{16 e^{2}})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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