微积分学示例

$x^{2} y^{2} = 36$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

将 $x^{2} y^{2} = 36$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{2} y^{2} = 36$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{36}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{6}{x})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{6}{x}$

解题步骤 1.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{6}{x}$

解题步骤 1.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{6}{x}$

解题步骤 1.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{6}{x} \to f (x) = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x} \to f (x) = - \frac{6}{x}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

解题步骤 3.3

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $2 y^{2} x$ 。

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

解题步骤 3.5.2

将 $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ 中的每一项除以 $2 x^{2} y$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ 中的每一项都除以 $2 x^{2} y$ 。

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

从 $- 2 y^{2} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

从 $2 x^{2} y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.3.2

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.2.1

从 $- y^{2} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

解题步骤 3.5.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.2.2.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

解题步骤 3.5.2.3.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

解题步骤 3.5.2.3.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

解题步骤 3.5.2.3.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.3.1

从 $- y x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

解题步骤 3.5.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

解题步骤 3.5.2.3.3.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

解题步骤 3.5.2.3.3.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y}{x}$

解题步骤 3.5.2.3.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{x}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{y}{x} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

解题步骤 4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 4.2

将 $- \frac{y}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 4.2.1

将 $- \frac{y}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $- \frac{y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

解题步骤 4.2.2.1.3

重写表达式。

$- y = 0 x$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$- y = 0$

解题步骤 4.3

将 $- y = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $- y = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$y = 0$

解题步骤 4.4

变量 $x$ 被消去。

所有实数

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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解题步骤 5.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

通过指数相加将 $l$ 乘以 $l$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

移动 $l$ 。

解题步骤 5.2.1.2

将 $l$ 乘以 $l$ 。

解题步骤 5.2.2

通过指数相加将 $l^{2}$ 乘以 $l$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

移动 $l$ 。

解题步骤 5.2.2.2

将 $l$ 乘以 $l^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1

对 $l$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 5.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

解题步骤 5.2.3

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

移动 $r$ 。

解题步骤 5.2.3.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.4.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 5.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ 。

$\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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解题步骤 6.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

通过指数相加将 $l$ 乘以 $l$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

移动 $l$ 。

解题步骤 6.2.1.2

将 $l$ 乘以 $l$ 。

解题步骤 6.2.2

通过指数相加将 $l^{2}$ 乘以 $l$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

移动 $l$ 。

解题步骤 6.2.2.2

将 $l$ 乘以 $l^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

对 $l$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 6.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 6.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

解题步骤 6.2.3

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

移动 $r$ 。

解题步骤 6.2.3.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

解题步骤 6.2.4

化简分母。

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解题步骤 6.2.4.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 6.2.4.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 6.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 6.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ 。

$- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

$y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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