微积分学示例

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} + x y + y^{2} - 3 = 0$

解题步骤 1.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.3

将 $a = 1$ 、 $b = x$ 和 $c = x^{2} - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 3))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.2

运用分配律。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.5

以因式分解的形式重写 $- 3 x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 1.4.1.5.1

从 $- 3 x^{2} + 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.4.1.5.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.5.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.5.1.3

从 $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.5.3

将 $- x^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.5.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.2

运用分配律。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.5

以因式分解的形式重写 $- 3 x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 1.5.1.5.1

从 $- 3 x^{2} + 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.5.1.5.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.5.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.5.1.3

从 $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.5.3

将 $- x^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.5.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.5.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.5.5

从 $\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

解题步骤 1.5.6

从 $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

解题步骤 1.5.7

将 $- (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ 重写为 $- 1 (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ 。

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

解题步骤 1.5.8

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.2

运用分配律。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.4

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.5

以因式分解的形式重写 $- 3 x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 1.6.1.5.1

从 $- 3 x^{2} + 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.6.1.5.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.5.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.5.1.3

从 $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.5.3

将 $- x^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.1.5.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.6.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.6.5

从 $- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

解题步骤 1.6.6

从 $- (x) - (\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

解题步骤 1.6.7

将 $- (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ 重写为 $- 1 (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ 。

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

解题步骤 1.6.8

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 1.7

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

求微分。

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解题步骤 3.2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + x y + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

解题步骤 3.2.4

重新排序项。

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

解题步骤 3.5.1.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

解题步骤 3.5.2

从 $x y' + 2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

解题步骤 3.5.2.2

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

解题步骤 3.5.2.3

从 $y' (x) + y' (2 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

解题步骤 3.5.3

将 $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ 中的每一项除以 $x + 2 y$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ 中的每一项都除以 $x + 2 y$ 。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $x + 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

解题步骤 3.5.3.3.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

解题步骤 3.5.3.3.3

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

解题步骤 3.5.3.3.4

从 $- (2 x) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

解题步骤 3.5.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.3.3.5.1

将 $- (2 x + y)$ 重写为 $- 1 (2 x + y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

解题步骤 3.5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

将分子设为等于零。

$2 x + y = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$2 x = - y$

解题步骤 4.2.2

将 $2 x = - y$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2 x = - y$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- y}{2}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{y}{2}$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- \frac{y}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

去掉圆括号。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

解题步骤 5.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.1

合并指数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + 1 (\frac{y}{2}))}}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $\frac{y}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.2.6

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.2.7

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 5.2.2.8

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{2 \cdot 2 + y}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.2.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.2.10

合并指数。

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解题步骤 5.2.2.10.1

组合 $3$ 和 $\frac{4 - y}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y)}{2} \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

解题步骤 5.2.2.10.2

将 $\frac{3 (4 - y)}{2}$ 乘以 $\frac{4 + y}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{2 \cdot 2}}}{2}$

解题步骤 5.2.2.10.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}}}{2}$

解题步骤 5.2.2.11

将 $\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))$ 。

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解题步骤 5.2.2.11.1

从 $3 (4 - y) (4 + y)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{4}}}{2}$

解题步骤 5.2.2.11.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

解题步骤 5.2.2.11.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}}{2}$

解题步骤 5.2.2.12

从根式下提出各项。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{2}$

解题步骤 5.2.2.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

解题步骤 5.2.2.14

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

解题步骤 5.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

乘以 $\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 5.2.5

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 5.2.6

从 $- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

解题步骤 5.2.7

从 $- (y) - (\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

解题步骤 5.2.8

化简表达式。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $- (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ 重写为 $- 1 (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

解题步骤 5.2.8.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 5.2.8.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4})$

解题步骤 5.2.8.4

将 $\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 5.2.9

最终答案为 $\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ 。

$\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{y}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

解题步骤 6.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1

合并指数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + 1 (\frac{y}{2}))}}{2}$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $\frac{y}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 6.2.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 6.2.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 6.2.2.6

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 6.2.2.7

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

解题步骤 6.2.2.8

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{2 \cdot 2 + y}{2}}}{2}$

解题步骤 6.2.2.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

解题步骤 6.2.2.10

合并指数。

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解题步骤 6.2.2.10.1

组合 $3$ 和 $\frac{4 - y}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y)}{2} \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

解题步骤 6.2.2.10.2

将 $\frac{3 (4 - y)}{2}$ 乘以 $\frac{4 + y}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{2 \cdot 2}}}{2}$

解题步骤 6.2.2.10.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}}}{2}$

解题步骤 6.2.2.11

将 $\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))$ 。

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解题步骤 6.2.2.11.1

从 $3 (4 - y) (4 + y)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{4}}}{2}$

解题步骤 6.2.2.11.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

解题步骤 6.2.2.11.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}}{2}$

解题步骤 6.2.2.12

从根式下提出各项。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$

解题步骤 6.2.2.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

解题步骤 6.2.2.14

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

解题步骤 6.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.4

乘以 $\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 6.2.5

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 6.2.6

从 $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

解题步骤 6.2.7

从 $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

解题步骤 6.2.8

化简表达式。

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解题步骤 6.2.8.1

将 $- (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ 重写为 $- 1 (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

解题步骤 6.2.8.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 6.2.8.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4})$

解题步骤 6.2.8.4

将 $\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 6.2.9

最终答案为 $\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ 。

$\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例